文献あり

ルベーグ積分の証明でよく出てくるアレ（２）

「ルベーグ積分入門」の定理7.4に以下のものがある。

$A$ が可測集合ならば、任意の $ϵ > 0$ に対し $G \supset A, μ (G - A) < ϵ$ なる開集合が存在する。

字面だけ追えば、任意の $ϵ$ が任意で、 $μ (G - A) < 0 + ϵ$ となり、 $μ (G - A) \leq 0$ 、すなわち $μ (G - A) = 0$ になりそうに思えるが、そうはならない。これは、 $G$ が $ϵ$ に応じて決まるためである。

$R$ 上の可測集合でどんな開集合 $G$ を選んでも $μ (G - A) > 0$ になるパターンとして $A = [0, 1)$ がある。この場合、 $ϵ > 0$ に対して $G = (- ϵ, 1)$ とすると、 $G \supset A, μ (G - A) = ϵ$ となり、 $μ (G - A)$ はいくらでも小さくできる。しかし、0にはならない。