ルベーグ積分の証明でよく出てくるアレ（２）

「ルベーグ積分入門」の定理7.4に以下のものがある。

字面だけ追えば、任意の$\epsilon$が任意で、$\mu(G - A) < 0 + \epsilon$となり、$\mu(G - A) \leq 0$、すなわち$\mu(G-A) = 0$になりそうに思えるが、そうはならない。これは、$G$が$\epsilon$に応じて決まるためである。

$R$上の可測集合でどんな開集合$G$を選んでも$\mu(G-A) > 0$になるパターンとして$A = [0, 1)$がある。この場合、$\epsilon > 0$に対して$G = (-\epsilon, 1)$とすると、$G \supset A, \mu(G-A) = \epsilon$ となり、$\mu(G-A)$はいくらでも小さくできる。しかし、0にはならない。