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大学数学基礎解説
文献あり

雑記

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雑記

現在広く数学で採用されている基礎論は論理主義であり、少ない論理記号といくつかの記号を用いられて集合論が形成され、その上で数学が行われる理論です。この場合は、集合そのものや、集合同士の関係などが重要であり、集合の名前や数学概念の名前などは重要ではありません。

直観主義というと、名前からだけでは他の理論と比べて厳密に議論してない感じがします。
直観主義と呼ばれるのは、ひとつひとつの数学の概念に対し型と呼ばれるラベルを付与していることが特徴的だからです。

例えば群なら群という型、自然数なら自然数という型が必要になります。
論理主義と異なり、数学の理論が積み上げれば積み上がるほど型がどんどん増えていきます。

※結局論理主義と論理主義は等価だというのをどこかで見た気がします。

Lean4

ここでは最近リリースされた直観主義に根ざしたプログラミング言語LEAN4のプログラム例を紹介してみます。

theorem ex1 : p ∨ q → q ∨ p

      theorem ex1 : p ∨ q → q ∨ p := by {
  intro h;
  cases h;
  case inr => {
    apply Or.inl;
    assumption;
  }
  case inl => {
    apply Or.inr;
    assumption;
  }
}

    
解説
方針

intro
intro h;
p q : Prop
h : p ∨ q
⊢ q ∨ p


case
cases h;
case inl
p q : Prop
: p
⊢ q ∨ p
case inr
p q : Prop
: q
⊢ q ∨ p


case inr
case inr => {
apply Or.inl;
assumption;
}
goals accomplished


case inl
case inl => {
apply Or.inr;
assumption;
}
goals accomplished


goals accomplished

参考文献

投稿日:2021410

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投稿者

furea2
furea2
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昔数学を少しだけやってました

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