一様有界性原理の簡単な証明

$x\in X,r>0$とする．三角不等式より，任意の$\xi \in X$に対し，
$$\begin{array}{rl}\parallel T\xi \parallel & =\Vert T(\frac{1}{2}(x+\xi )-\frac{1}{2}(x-\xi ))\Vert \\ & \le \frac{1}{2}(\parallel T(x+\xi )\parallel +\parallel T(x-\xi )\parallel )\\ & \le max\{\parallel T(x+\xi )\parallel ,\parallel T(x-\xi )\parallel \}\end{array}$$
が成立する．ここで両辺の$\xi \in \overline{B(0,r)}$についての上限をとると，右辺は$\underset{x^{\prime }\in \overline{B(x,r)}}{sup}\parallel T{x}^{\prime }\parallel$に，左辺は$\parallel T\parallel r$になる（補足：右辺の書き換えについては，$\underset{\xi \in \overline{B(0,r)}}{sup}\parallel T(x+\xi )\parallel =\underset{x^{\prime }\in \overline{B(x,r)}}{sup}\parallel T{x}^{\prime }\parallel$となることに注意すればよい．左辺の書き換えについては，作用素ノルムの定義から，$\parallel T\parallel =\underset{\parallel \xi \parallel \le 1}{sup}\parallel T\xi \parallel =\underset{\parallel \xi \parallel \le r}{sup}\parallel T(\frac{\xi }{r})\parallel =\frac{1}{r}\underset{\xi \in \overline{B(0,r)}}{sup}\parallel T\xi \parallel$となることを用いればよい）．

対偶を示す．すなわち，$\underset{T\in \mathcal{F}}{sup}\parallel T\parallel =\mathrm{\infty }$を仮定し，$\mathcal{F}$が各点で有界でないこと（すなわち，ある$x\in X$が存在して$\underset{T\in \mathcal{F}}{sup}\parallel Tx\parallel =\mathrm{\infty }$）を示す．まず仮定より，$\mathcal{F}$から列$\{T_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$を適当に選び，$\parallel T_n\parallel \ge 4^n$が成立するようにできる．次に，補題2を用いると，点列$x_n\in X(n=0,1,2,\dots )$を帰納的に，
$$\begin{array}{r}{x}_0=0,\parallel x_n-x_{n-1}\parallel \le 3^{-n},\parallel T_n{x}_n\parallel \ge \frac{2}{3}{3}^{-n}\parallel T_n\parallel (n=1,2,\dots )\end{array}$$
をみたすように選ぶことができる（補足：$x_1$を定めるときは，補題2を$T=T_1$, $x=x_0$, $r=3^{-1}$として適用した後，$sup$の性質を使うと$\parallel T_1{x}_1\parallel \ge \frac{2}{3}{3}^{-1}\parallel T_1\parallel$をみたす$x_1$の存在がいえる．以下帰納的に，$x_{n-1}$まで定まったとき，補題2を$T=T_n$, $x=x_{n-1}$, $r=3^{-n}$として適用すると上の条件をみたす$x_n$の存在がいえる）．上の条件から，$\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$は$X$のCauchy列になっており，$X$の完備性からある$x\in X$に収束する．また，任意の$n\ge 1$に対し，
$$\begin{array}{rl}\parallel x-x_n\parallel & =\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\parallel x_m-x_n\parallel \\ & =\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\Vert \sum _{j=n+1}^m(x_j-x_{j-1})\Vert \\ & \le \underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{j=n+1}^m\parallel x_j-x_{j-1}\parallel \\ & \le \underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{j=n+1}^m{3}^{-j}\\ & =\frac{1}{2}{3}^{-n}\end{array}$$
が成立する．これより，
$$\begin{array}{rl}\parallel T_{n}x\parallel & =\parallel T_n((x-x_n)+x_n)\parallel \\ & \ge \parallel T_n{x}_n\parallel -\parallel T_n(x-x_n)\parallel \\ & \ge \frac{2}{3}{3}^{-n}\parallel T_n\parallel -\parallel T_n\parallel \parallel x-x_n\parallel \\ & \ge \frac{2}{3}{3}^{-n}\parallel T_n\parallel -\frac{1}{2}{3}^{-n}\parallel T_n\parallel \\ & =\frac{1}{6}{3}^{-n}\parallel T_n\parallel \\ & \ge \frac{1}{6}{3}^{-n}\cdot 4^n\\ & =\frac{1}{6}{\left(\frac{4}{3}\right)}^n\to \mathrm{\infty }(n\to \mathrm{\infty })\end{array}$$
を得る（補足：一つ目の不等号では三角不等式，二つ目の不等号では条件$\parallel T_n{x}_n\parallel \ge \frac{2}{3}{3}^{-n}\parallel T_n\parallel$と$\parallel T_n(x-x_n)\parallel \le \parallel T_n\parallel \parallel x-x_n\parallel$，三つ目の不等号では$\parallel x-x_n\parallel \le \frac{1}{2}{3}^{-n}$，4つ目の不等号では$\parallel T_n\parallel \ge 4^n$をそれぞれ使った）．以上で$\underset{T\in \mathcal{F}}{sup}\parallel Tx\parallel =\mathrm{\infty }$が示された．