一様有界性原理の簡単な証明
Sokal [1] による，一様有界性原理のBaireのカテゴリー定理を経由しないシンプルな証明を紹介します．
$\mathcal{F}$をBanach空間$X$からノルム空間$Y$への有界線形作用素の族とする．$\mathcal{F}$が各点で有界（すなわち，任意の$x\in X$に対し$\sup_{T\in \mathcal{F}} \| Tx \| < \infty$）ならば，$\mathcal{F}$は一様有界（すなわち，$\sup_{T\in \mathcal{F}} \| T \| < \infty$）である．
$T$をノルム空間$X$からノルム空間$Y$への有界線形作用素とする．このとき，任意の$x \in X$と$r>0$に対し，
\begin{align}
\sup_{x' \in \overline{B(x,r)}} \| T x' \| \ge \| T \| r
\end{align}
が成立する．ただし，ここで
$\overline{B(x,r)} = \{ x' \in X : \| x' - x \| \le r \}$
である．
$x \in X, r>0$とする．三角不等式より，任意の$\xi \in X$に対し，
\begin{align}
\| T \xi \|
&=
\left\| T \left( \frac{1}{2}(x+\xi) - \frac{1}{2}(x-\xi) \right) \right\| \\
&\le
\frac{1}{2} \left( \| T(x+\xi) \| + \| T(x-\xi) \| \right) \\
&\le
\max\left\{ \| T(x+\xi) \|, \|T(x-\xi)\| \right\}
\end{align}
が成立する．ここで両辺の$\xi \in \overline{B(0,r)}$についての上限をとると，右辺は$\sup_{x'\in \overline{B(x,r)}} \| Tx'\|$に，左辺は$\|T\| r$になる（補足：右辺の書き換えについては，$\sup_{\xi \in \overline{B(0,r)}} \| T(x+\xi) \| = \sup_{x'\in \overline{B(x,r)}} \| Tx' \|$となることに注意すればよい．左辺の書き換えについては，作用素ノルムの定義から，$\| T \| = \sup_{\|\xi\| \le 1} \| T \xi \| = \sup_{\| \xi \| \le r} \| T (\frac{\xi}{r}) \| = \frac{1}{r} \sup_{\xi \in \overline{B(0,r)}} \| T \xi \|$となることを用いればよい）．
対偶を示す．すなわち，$\sup_{T\in \mathcal{F}} \| T \| = \infty$を仮定し，$\mathcal{F}$が各点で有界でないこと（すなわち，ある$x\in X$が存在して$\sup_{T \in \mathcal{F}} \|Tx \| = \infty$）を示す．まず仮定より，$\mathcal{F}$から列$\{ T_n \}_{n=1}^{\infty}$を適当に選び，$\|T_n\| \ge 4^n$が成立するようにできる．次に，補題2を用いると，点列$x_n \in X \ (n = 0,1,2,\ldots)$を帰納的に，
\begin{align}
x_0 = 0,\quad \| x_n - x_{n-1} \| \le 3^{-n},\quad
\| T_n x_n \| \ge \frac{2}{3}3^{-n} \| T_n \| \quad (n=1,2,\ldots)
\end{align}
をみたすように選ぶことができる（補足：$x_1$を定めるときは，補題2を$T=T_1$, $x=x_0$, $r= 3^{-1}$として適用した後，$\sup$の性質を使うと$\| T_1 x_1 \| \ge \frac{2}{3}3^{-1} \|T_1\|$をみたす$x_1$の存在がいえる．以下帰納的に，$x_{n-1}$まで定まったとき，補題2を$T=T_n$, $x = x_{n-1}$, $r= 3^{-n}$として適用すると上の条件をみたす$x_n$の存在がいえる）．上の条件から，$\{ x_n \}_{n=1}^{\infty}$は$X$のCauchy列になっており，$X$の完備性からある$x\in X$に収束する．また，任意の$n \ge 1$に対し，
\begin{align}
\| x - x_n \|
&= \lim_{m\to \infty} \| x_m - x_n \| \\
&= \lim_{m\to \infty} \left\| \sum_{j=n+1}^m (x_j - x_{j-1}) \right\| \\
&\le
\lim_{m\to \infty} \sum_{j=n+1}^{m} \| x_j - x_{j-1} \| \\
&\le
\lim_{m\to \infty} \sum_{j=n+1}^{m} 3^{-j}\\
&= \frac{1}{2} 3^{-n}
\end{align}
が成立する．これより，
\begin{align}
\| T_n x \|
&=
\| T_n((x-x_n)+x_n) \| \\
&\ge
\| T_n x_n \| - \| T_n (x-x_n) \| \\
&\ge
\frac{2}{3} 3^{-n} \| T_n \| - \| T_n \| \| x- x_n \| \\
&\ge
\frac{2}{3} 3^{-n} \| T_n \| - \frac{1}{2} 3^{-n} \| T_n \| \\
&= \frac{1}{6} 3^{-n} \| T_n \| \\
&\ge \frac{1}{6} 3^{-n} \cdot 4^n \\
&= \frac{1}{6} \left( \frac{4}{3} \right)^n
\to \infty \quad (n\to \infty)
\end{align}
を得る（補足：一つ目の不等号では三角不等式，二つ目の不等号では条件$\| T_n x_n \| \ge \frac{2}{3} 3^{-n} \|T_n \|$と$\| T_n (x-x_n) \| \le \|T_n\| \|x-x_n\|$，三つ目の不等号では$\| x - x_n \| \le \frac{1}{2}3^{-n}$，4つ目の不等号では$\| T_n \| \ge 4^n$をそれぞれ使った）．以上で$\sup_{T \in \mathcal{F}} \|Tx \| = \infty$が示された．