z変換:Σ[n=1..∞] (-1)^(n+1) sin(n)/nの値を求める。

$$A=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{\sin \left(n\right)}{n}=1+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{\sin \left(n\right)}{n}=1-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{\sin \left(n\right)}{n}$$
ここで、
$$\begin{gathered} g(n):=(-1{)}^n\sin \left(n\right) \\ f(n):=\frac{g(n)}{n} \end{gathered}$$とおき
$$F(z):=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(n)z^{-n}=\mathcal{Z}[f(n)](\text{収束領域は}|z|>1)$$と定義する。
級数$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(n)$は交代級数である。また$\frac{\sin \left(n\right)}{n}$は単調減少、かつ$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sin \left(n\right)}{n}=0$なので級数$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(n)$は一様収束する。よってアーベルの連続性定理から$\underset{z->1}{lim}F(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(n)$である。つまり、$A=1-\underset{z->1}{lim}F(z)$である。
つぎに$g(n)$は$n=0$のとき$g(0)=(-1{)}^0\sin \left(0\right)=0$なので$z$変換の積分則を適用して
$$\begin{array}{rcl}F(z)& =& \mathcal{Z}\left[\frac{g(n)}{n}\right]\\ & =& {\int }_z^{\mathrm{\infty }}{w}^{-1}G(w)dw+\underset{n\to 0}{lim}f(n)& & (\text{ただし}G(z):=\mathcal{Z}[g(n)])\\ & =& {\int }_z^{\mathrm{\infty }}{w}^{-1}\frac{(-w)\sin \left(1\right)}{(-w{)}^2-2\cos \left(1\right)(-w)+1}dw+1& & \because \mathcal{Z}[(-1{)}^n\sin \left(n\right)]=\frac{\left(\frac{z}{-1}\right)\sin \left(1\right)}{{\left(\frac{z}{-1}\right)}^2-2\cos \left(1\right)\left(\frac{z}{-1}\right)+1}\\ & =& {\int }_z^{\mathrm{\infty }}\frac{-\sin \left(1\right)}{w^2+2\cos \left(1\right)w+1}dw+1\\ & =& -{\int }_z^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \left(1\right)}{(w+\cos \left(1\right){)}^2+1-{\cos }^2(1)}dw+1\\ & =& -{\int }_z^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \left(1\right)}{(w+\cos \left(1\right){)}^2+{\sin }^2(1)}dw+1\\ & =& -{\int }_z^{\mathrm{\infty }}\frac{\frac{1}{\sin \left(1\right)}}{{\left(\frac{w+\cos \left(1\right)}{\sin \left(1\right)}\right)}^2+1}dw+1\end{array}$$ここで$v=\frac{w+\cos \left(1\right)}{\sin \left(1\right)}$とおくと$dv=\frac{dw}{\sin \left(1\right)}$なので
$$\begin{array}{rcl}F(z)& =& -{\int }_{\frac{z+\cos \left(1\right)}{\sin \left(1\right)}}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{v^2+1}dv+1\\ & =& -{[\arctan \left(v\right)]}_{\frac{z+\cos \left(1\right)}{\sin \left(1\right)}}^{\mathrm{\infty }}+1\\ & =& -(\frac{\pi }{2}-\arctan \left(\frac{z+\cos \left(1\right)}{\sin \left(1\right)}\right))+1\end{array}$$よって、
$$\begin{array}{rcl}A& =& 1-\underset{z->1}{lim}F(z)\\ & =& 1-(-(\frac{\pi }{2}-\arctan \left(\frac{1+\cos \left(1\right)}{\sin \left(1\right)}\right))+1)\\ & =& \frac{\pi }{2}-\arctan \left(\frac{1+\cos \left(1\right)}{\sin \left(1\right)}\right)\\ & =& \frac{\pi }{2}-(\frac{\pi }{2}-\arctan \left(\frac{\sin \left(1\right)}{1+\cos \left(1\right)}\right))\\ & =& \arctan \left(\frac{\sin \left(1\right)}{1+\cos \left(1\right)}\right)\\ & =& \arctan \left(\frac{\sin \left(1\right)}{2{\cos }^2(\frac{1}{2})}\right)& \because \text{半角の公式}{\cos }^2\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1+\cos \left(1\right)}{2}\\ & =& \arctan \left(\frac{2\sin \left(\frac{1}{2}\right)\cos \left(\frac{1}{2}\right)}{2{\cos }^2(\frac{1}{2})}\right)\\ & =& \arctan (\tan \left(\frac{1}{2}\right))\\ & =& \frac{1}{2}\end{array}$$となり、命題が示された。