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大学数学基礎解説
文献あり

z変換:Σ[n=1..∞] (-1)^(n+1) sin(n)/nの値を求める。

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$$\newcommand{BEQ}[0]{\begin{eqnarray}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil} \newcommand{div}[0]{\mathrm{div}} \newcommand{division}[0]{÷} \newcommand{EEQ}[0]{\end{eqnarray}} \newcommand{floor}[1]{ \left\lfloor#1\right\rfloor} \newcommand{grad}[0]{\mathrm{grad}\ } \newcommand{hgf}[5]{{}_{#1}F_{#2}\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{#3}{#4}\,;\,#5\right)} \newcommand{Iz}[0]{\int_z^{\infty} } \newcommand{IZT}[1]{\mathcal{Z^{-1}}\left[#1\right]} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rot}[0]{\mathrm{rot}\ } \newcommand{SI}[1]{\sum_{#1=1}^{\infty}} \newcommand{SO}[1]{\sum_{#1 = 0}^{\infty}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{ZT}[1]{\mathcal{Z}\left[#1\right]} $$

目的

  • youtube で紹介されていた級数$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{\sin(n)}{n}$の値を$z$変換を用いて求める。

$$ A=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{\sin(n)}{n}=\frac12 $$

$$ A=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{\sin(n)}{n}=1+\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{\sin(n)}{n}=1-\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{\sin(n)}{n} $$
ここで、
$$ g(n):=(-1)^n\sin(n)\\ f(n):=\frac{g(n)}{n} $$とおき
$$ F(z):=\sum_{n=0}^{\infty} f(n) z^{-n}=\ZT{f(n)} \quad (\text{収束領域は}|z|>1) $$と定義する。
級数$\sum_{n=0}^{\infty} f(n)$は交代級数である。また$\frac{\sin(n)}{n}$は単調減少、かつ$\lim_{n\to \infty}\frac{\sin(n)}{n}=0$なので級数$\sum_{n=0}^{\infty} f(n)$は一様収束する。よってアーベルの連続性定理から$\lim_{z->1}F(z)=\sum_{n=0}^{\infty} f(n)$である。つまり、$A=1-\lim_{z->1}F(z)$である。
つぎに$g(n)$$n=0$のとき$g(0)=(-1)^0 \sin(0)=0$なので$z$変換の積分則を適用して
$$ \BEQ F(z) &=&\ZT{\frac{g(n)}{n}}\\ &=&\int_{z}^{\infty} w^{-1} G(w) dw+\lim_{n\to 0} f(n) & \quad &(\text{ただし} G(z):=\ZT{g(n)})\\ &=&\int_{z}^{\infty} w^{-1} \frac{(-w)\sin(1)}{(-w)^2-2\cos(1)(-w)+1} dw+1 & \quad & \because \ZT{(-1)^n \sin(n)}=\frac{\left(\frac{z}{-1}\right) \sin(1)}{\left(\frac{z}{-1}\right)^2-2\cos(1)\left(\frac{z}{-1}\right)+1}\\ &=&\int_{z}^{\infty} \frac{-\sin(1)}{w^2+2\cos(1)w+1} dw+1\\ &=&-\int_{z}^{\infty} \frac{\sin(1)}{(w+\cos(1))^2+1-\cos^2(1)} dw+1\\ &=&-\int_{z}^{\infty} \frac{\sin(1)}{(w+\cos(1))^2+\sin^2(1)} dw+1\\ &=&-\int_{z}^{\infty} \frac{\frac{1}{\sin(1)}}{\left(\frac{w+\cos(1)}{\sin(1)}\right)^2+1} dw+1\\ \EEQ $$ここで$v=\frac{w+\cos(1)}{\sin(1)}$とおくと$dv=\frac{dw}{\sin(1)}$なので
$$ \BEQ F(z) &=&-\int_{\frac{z+\cos(1)}{\sin(1)}}^{\infty} \frac{1}{v^2+1} dv+1\\ &=&- \left[\arctan(v) \right]_{\frac{z+\cos(1)}{\sin(1)}}^{\infty} +1\\ &=&-\left( \fracπ2-\arctan \left(\frac{z+\cos(1)}{\sin(1)}\right) \right) +1\\ \EEQ $$よって、
$$ \BEQ A &=&1-\lim_{z->1}F(z)\\ &=&1-\left(-\left( \fracπ2-\arctan \left(\frac{1+\cos(1)}{\sin(1)}\right) \right) +1 \right)\\ &=&\fracπ2-\arctan \left(\frac{1+\cos(1)}{\sin(1)} \right)\\ &=&\fracπ2-\left(\fracπ2-\arctan \left(\frac{\sin(1)}{1+\cos(1)} \right) \right)\\ &=& \arctan \left(\frac{\sin(1)}{1+\cos(1)} \right) \\ &=& \arctan \left(\frac{\sin(1)}{2 \cos^2(\frac12)} \right) & \because \text{半角の公式}\cos^2\left(\frac12\right)=\frac{1+\cos(1)}{2}\\ &=& \arctan \left(\frac{2\sin(\frac12)\cos(\frac12)}{2 \cos^2(\frac12)} \right) \\ &=& \arctan \left(\tan\left(\frac12 \right) \right) \\ &=& \frac12 \\ \EEQ $$となり、命題が示された。

参考文献

投稿日:2021413

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zeta
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