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大学数学基礎解説
文献あり

Radon変換(前半)

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Radon変換(前半)

What is a Radon transform?

Radon変換は1917年にJ.Radonによって導入された積分変換である.
Radon変換は波動方程式やFourier解析などと相性が良く,純粋数学の面で重要である. 一方,Radon変換はCT-スキャンや非破壊検査の中心的な道具でもある.
1979年に電子工学者のHounsfieldと応用物理学者のCormackがRadon変換を用いてCT-スキャナーを開発しノーベル生理学・医学賞を受賞したことは数学史的にも意味があることであった.

Radon変換の定義

Rnでの超平面α
α:x,e=p,(eSn1, pR)で定義する. ここで, ,はEuclid空間の通常内積である. この超平面αp>0のとき,原点からの距離がpである点を通って, eを法線ベクトルに持つ超平面を表していることに注意せよ.

PnRn内全てのn1次元超平面の集合と定義する. (e,p)Sn1×Rで決まる超平面と(e,p)で決まる超平面が同一のものであることは容易にわかるので, Sn1×RPnの2重被覆を与えている.

これ以降, fS(Rn)を仮定する. また,ΩnSn1の表面積,つまりRn内の単位球の表面積を表し, 具体的には,
Ωn=2πn/2Γ(n/2)で求まるものとする.

Radon変換

関数f:RnCに対して,超平面α:x,e=p上のRadon変換R
R[f](e,p)=αf(x)dσ(x),(eSn1, pR)
で定義する. ここで, dσは超平面α上の面積測度である.

定義から, Radon変換はRn上の関数をn1次元の超平面上で面積分している. これに自由度を持たせて, 0<k<nを満たす任意のk次元超平面上で面積分する変換はk-plane Radon変換と呼ばれている. 特に, k=1のときはX-ray変換という.

一般に, Radon変換の計算は容易ではないが, 対称性の高い関数に限っては手計算可能である.

2次元Gauss関数のRadon変換

Gauss関数f(x)=e|x|2のRadon変換(X-ray変換)を求めてみよう.

今, 積分路はα:x,e=pで表される直線であるが, eS1をベクトル(cosθ,sinθ)tと同一視する. すると, α上の点(x,y)は位置ベクトルで,
(xy)=(pcosθpsinθ)+(ssinθscosθ)=(pcosθssinθpsinθ+scosθ), sR
と表すことができる. また,
dxds=cosθ, dyds=sinθ, (dxds)2+(dyds)2=1
から, 線素は以下のようになる:
dσ(x)=(dxds)2+(dyds)2ds=ds.
従って, x2y2=p2s2なので,
R[f](θ,p)=αf(x)dσ(x)=ep2s2ds=ep2es2ds=πep2
を得る. Gauss関数の圧倒的対称性により, 角度パラメーターが消失し, かつGauss関数が再び現れたことが分かる.

CT-スキャナーの仕組み

先ほどX-ray変換という単語が出てきたが, この機会にCT-スキャナーの仕組みを簡単に説明する. もちろん, 筆者はこの話題の専門家ではない.

我々は3次元空間内に存在している. CT-スキャンは被検体を輪切りに撮影するが, その輪切りになった2次元面の密度分布を完全に特定することができれば嬉しい(生物ならば腫瘍などの発見, 物質ならば非破壊検査).

ここでは生物で考えてみよう. 断面における何らかの情報を持った関数をf(x)とする. 関数fは微小片Δu密度ρ細胞分布λの積ρλによって特徴付けられるので, 関数ff(x)=ρ(x)λ(x)と表されるはずである.

さて, 強度I0のX線が微小片Δuに入射して出力される強度Iは,
I=I0eρλΔu
という関係で与えられることは認めてほしい(と言っても, これは超基本な常微分方程式の解). すると, 被検体を細かく微小片分割したときのX線の出力強度は,
I=I0enρnλnΔun
となることが分かる. 従って, 無限分割の極限で上式は以下に収束する:
I=I0e X-rayρ(x)λ(x)dσ(x)=I0e X-rayf(x)dσ(x).

すなわち, X線の経路を直線x,e=pとすることにより,
log(II0)=x,e=pf(x)dσ(x)
が導かれた. 右辺に関数fのRadon変換(今の場合はX-ray変換でもある)が出てきたことが分かるだろう. 左辺は既に観測された「」であるので, この値から関数fを再構成できれば嬉しい. このようなモチベーションからRadon変換の再生公式を最終目標にしていこう.

Fourierスライス定理

前半はこの定理で終わりにする. この定理はRadon変換のある意味のスライスが元の関数のある線上のFourier変換に一致することを述べている. 証明は簡単だが, Radon変換の強力な武器である.

Fourierスライス定理

sRに対して
F[f](se)=F2[R[f](e,)](s)
が成り立つ. ここで, F2は2変数目にFourier変換を施したことを意味する.

以下のような直接計算で求まる:
F2[R[f](e,)](s)=R[f](e,p)eipsdp={x,e=pf(x)dσ(x)}eipsdp=x,e=pf(x)eipsdσ(x)dp=Rnf(x)eisx,edx=F[f](se).

参考文献は以下のノートと, そのノートの参考文献になります.

参考文献

投稿日:2021413
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  4. CT-スキャナーの仕組み
  5. Fourierスライス定理
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