とりゐさんの整数問題

今日はとりゐさんの整数問題を解きます。
https://twitter.com/toriidao/status/1382272560021213184?s=19

まず、両辺の対数を取ってみましょう。

$bc \log a+ca\log b+ab\log c=abc\log d$

$\displaystyle\frac{\log a}{a}+\frac{\log b}{b}+\frac{\log c}{c}=\log d$

いい感じの式ができました。

$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x}$ とおくと、$\displaystyle f'(x)=\frac{1-\log x}{x^2}$ より、$f(x)$ は $0< x< e$ において単調増加し、$x>e$ において単調減少します。
これより、$f(n)$の最大値は$f(2)$か$f(3)$になるのですが、$f(3)>f(4)=f(2)$であるので$f(n)$の最大値は$f(3)$です。

したがって、
$\log d=f(a)+f(b)+f(c)≤f(3)+f(3)+f(3)=\log 3$
より、$d=1,2,3$です。

$d$がそれぞれの値のときに、$a,b,c$を求めてみましょう。

(i) $d=1$のとき
$a^{bc}b^{ca}c^{ab}=1$となるので$a=b=c=1$となります。
よって、$(a,b,c,d)=(1,1,1,1)$です。

(ii) $d=2$ のとき
$(a,b,c)=(1,2,2),(1,2,4),(1,4,4),(2,16,16),(4,16,16),(8,8,16)$
ですね！...と言いたいところですが、過程を記します。

$a^{bc}b^{ca}c^{ab}=2^{abc}$より、$a^{bc},b^{ca},c^{ab}$はどれも$2^{abc}$の約数なので、$a,b,c$はどれも$2$の冪です。

$a,b,c$のうち$2$つ以上が$2$または$4$であるとき、$2f(2)=\log 2$より、残りの$1$つは$1$であるので、$(a,b,c)=(1,2,2),(1,2,4),(1,4,4)$がわかります。

$a,b,c$のうち$1$つが$2$または$4$であるとき、$a≠1$なので、$a=2,4$とすることができて、$f(b)+f(c)=\frac{\log2}{2}$より、$(a,b,c)=(2,16,16),(4,16,16)$がわかります。

$a,b,c$のうちどれも$2$または$4$でないとき、$(a,b,c)=(8,8,16)$がわかります。

(iii) $d=3$ のとき
明らかに$(a,b,c)=(3,3,3)$のみですね。

よって、答えは$(a,b,c,d)=(1,1,1,1),(1,2,2,2),(1,2,4,2),(1,4,4,2),(2,16,16,2),(3,3,3,3),(4,16,16,2),(8,8,16,2)$です。

お読みいただきありがとうございました。