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高校数学解説
文献あり

自作問題の解答: 反比例曲線と正三角形列

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問題: 020

曲線C: y=1x (x>0) とする。原点、曲線C上、x軸上に3点があるように正三角形T1をとる。n=1,2, について図のように、x軸上に一辺があり、曲線C上に一点をもち、正三角形Tnに右から一点を共有するように正三角形Tn+1を定める。Tnの曲線C上にある点のx座標をtnとする。

(1) t1を求めよ。
(2) an=tn+13tnとするとき、annで表せ。
(3) tnを求めよ。
(4) 正三角形Tnの面積をSnとするとき、limNn=1NSn は収束するか発散するか。収束するならその値を求め、発散するならそれを示せ。

Twitterに投稿した自作問題です。

解説
(1): 正三角形T1について、3t1=1t1 が成り立つから、t1=314

(2): tntn+1について、
tn+1tn=13tn+13tn+1tn+113tn+1=tn+13tn
が成り立つ。この右辺はanであり、bn=tn13tnとすると左辺はbn+1である。すなわち、bn+1=an。一方、an2=bn2+43であるから、
an+12=bn+12+43an+12=an2+43
を得る。t1=314よりa12=43だから、an2=43nが従う。正三角形列{Tn}の取り方からtnは常に正で、したがってanも常に正だから、an=2314n

(3): tn+13tn=an=2314nを、tnについて解くと、tn=314(n±n1)を得る。正三角形列{Tn}の取り方からtn+1>tnであるから、複合は正が適する。したがって、tn=314(n+n1)

(4): Tnの一辺の長さは23tnだから、
Sn=34(23tn)2=13(n+n1)2=13(2n1+2n(n1))13(2n1+2(n1))=13(4n3)
ここで、
n=1N13(4n3)=N(2N1)
だから、題意の無限和は発散する。

ネタバレ含むコメント
x軸とグラフの間に図形を埋めたい、というところから始まり、11xdxや調和級数は発散するけれど図形の面積和はどうなるか、という疑問から生まれました。

正方形や円を埋めてみようとしましたが、tnに相当するものを解くことに難儀しました。およその議論では円や正方形の面積無限和も発散するようです。正三角形より"密に"埋めることができるので直観とも反しません。

参考文献

投稿日:2021415
OptHub AI Competition

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Hurdia
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趣味勢。 考えたことをためて置いたり、自分で作成した問題をまとめておく。

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