文献あり

自作問題の解答: 反比例曲線と正三角形列

問題: 020

曲線 $C$ : $y = \frac{1}{x}$ ( $x > 0$ ) とする。原点、曲線 $C$ 上、 $x$ 軸上に3点があるように正三角形 $T_{1}$ をとる。 $n = 1, 2, \dots$ について図のように、 $x$ 軸上に一辺があり、曲線 $C$ 上に一点をもち、正三角形 $T_{n}$ に右から一点を共有するように正三角形 $T_{n + 1}$ を定める。 $T_{n}$ の曲線 $C$ 上にある点の $x$ 座標を $t_{n}$ とする。

(1) $t_{1}$ を求めよ。
(2) $a_{n} = t_{n} + \frac{1}{\sqrt{3} t_{n}}$ とするとき、 $a_{n}$ を $n$ で表せ。
(3) $t_{n}$ を求めよ。
(4) 正三角形 $T_{n}$ の面積を $S_{n}$ とするとき、 $lim_{N \to \infty} \sum_{n = 1}^{N} S_{n}$ は収束するか発散するか。収束するならその値を求め、発散するならそれを示せ。

Twitterに投稿した自作問題です。

解説

(1): 正三角形

T_{1}

について、

\sqrt{3} t_{1} = \frac{1}{t_{1}}

が成り立つから、

t_{1} = 3^{- \frac{1}{4}}

。

(2):

t_{n}

と

t_{n + 1}

について、

t_{n + 1} - t_{n} = \frac{1}{\sqrt{3} t_{n}} + \frac{1}{\sqrt{3} t_{n + 1}} \Leftrightarrow t_{n + 1} - \frac{1}{\sqrt{3} t_{n + 1}} = t_{n} + \frac{1}{\sqrt{3} t_{n}}

が成り立つ。この右辺は

a_{n}

であり、

b_{n} = t_{n} - \frac{1}{\sqrt{3} t_{n}}

とすると左辺は

b_{n + 1}

である。すなわち、

b_{n + 1} = a_{n}

。一方、

a_{n}^{2} = b_{n}^{2} + \frac{4}{\sqrt{3}}

であるから、

a_{n + 1}^{2} = b_{n + 1}^{2} + \frac{4}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow a_{n + 1}^{2} = a_{n}^{2} + \frac{4}{\sqrt{3}}

を得る。

t_{1} = 3^{- \frac{1}{4}}

より

a_{1}^{2} = \frac{4}{\sqrt{3}}

だから、

a_{n}^{2} = \frac{4}{\sqrt{3}} n

が従う。正三角形列

{T_{n}}

の取り方から

t_{n}

は常に正で、したがって

a_{n}

も常に正だから、

a_{n} = 2 \cdot 3^{- \frac{1}{4}} \sqrt{n}

。

(3):

t_{n} + \frac{1}{\sqrt{3} t_{n}} = a_{n} = 2 \cdot 3^{- \frac{1}{4}} \sqrt{n}

を、

t_{n}

について解くと、

t_{n} = 3^{- \frac{1}{4}} (\sqrt{n} \pm \sqrt{n - 1})

を得る。正三角形列

{T_{n}}

の取り方から

t_{n + 1} > t_{n}

であるから、複合は正が適する。したがって、

t_{n} = 3^{- \frac{1}{4}} (\sqrt{n} + \sqrt{n - 1})

。

(4):

T_{n}

の一辺の長さは

\frac{2}{\sqrt{3}} t_{n}

だから、

\begin{aligned} S_{n} & = \frac{\sqrt{3}}{4} {(\frac{2}{\sqrt{3}} t_{n})}^{2} = \frac{1}{3} (\sqrt{n} + \sqrt{n - 1})^{2} = \frac{1}{3} (2 n - 1 + 2 \sqrt{n (n - 1)}) \\ \geq \frac{1}{3} (2 n - 1 + 2 (n - 1)) = \frac{1}{3} (4 n - 3) \end{aligned}

ここで、

\sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{3} (4 n - 3) = N (2 N - 1) \to \infty

だから、題意の無限和は発散する。

ネタバレ含むコメント

x

軸とグラフの間に図形を埋めたい、というところから始まり、

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x

や調和級数は発散するけれど図形の面積和はどうなるか、という疑問から生まれました。

正方形や円を埋めてみようとしましたが、

t_{n}

に相当するものを解くことに難儀しました。およその議論では円や正方形の面積無限和も発散するようです。正三角形より"密に"埋めることができるので直観とも反しません。

参考文献

[1]

Twitterの投稿, 閲覧日 2021年4月15日, https://twitter.com/math_Hurdia/status/1382602939966005251?s=20

投稿日：2021年4月15日

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