cos(arctan x) などの計算

公式

計算の前に、今回使う三角関数の公式を書いておきます。

計算

• $\sin (\arccos x)$の計算
  $$\begin{array}{rl}{\sin }^2(\arccos x)& =1-{\cos }^2(\arccos x)\\ & =1-x^2\end{array}$$これと$0\le \sin (\arccos x)$より、$$\sin (\arccos x)=\sqrt{1-x^2}$$

• $\sin (\arctan x)$の計算
  $x>0$のとき、
  $$\begin{array}{rl}\frac{1}{{\sin }^2(\arctan x)}& =1+\frac{1}{{\tan }^2(\arctan x)}\\ & =1+\frac{1}{x^2}\\ & =\frac{1+x^2}{x^2}\end{array}$$これと$\sin (\arctan x)>0$より、$$\sin (\arctan x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$
  これは$x\le 0$でも成立する。

• $\cos (\arcsin x)$の計算
  $$\begin{array}{rl}{\cos }^2(\arcsin x)& =1-{\sin }^2(\arcsin x)\\ & =1-x^2\end{array}$$これと$0\le \cos (\arcsin x)$より、$$\cos (\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$$

• $\cos (\arctan x)$の計算
  $x\ne 0$のとき、
  $$\begin{array}{rl}\cos (\arctan x)& =\frac{\sin (\arctan x)}{\tan (\arctan x)}\\ & =\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\cdot \frac{1}{x}\\ & =\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\end{array}$$これは$x=0$でも成立する。

• $\tan (\arcsin x)$の計算
  $$\begin{array}{rl}\tan (\arcsin x)& =\frac{\sin (\arcsin x)}{\cos (\arcsin x)}\\ & =\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\end{array}$$

• $\tan (\arccos x)$の計算
  $$\begin{array}{rl}\tan (\arccos x)& =\frac{\sin (\arccos x)}{\cos (\arccos x)}\\ & =\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\end{array}$$

まとめ