cos(arctan x) などの計算
この記事では、
$$\begin{align*}
-\frac{\pi}2&\leq\arcsin x\leq\frac{\pi}2\\
0&\leq\arccos x\leq\pi\\
-\frac{\pi}2&<\arctan x<\frac{\pi}2
\end{align*}$$とします。
公式
計算の前に、今回使う三角関数の公式を書いておきます。
$$\begin{align*} \sin^2x+\cos^2x=1\\ 1+\frac{1}{\tan^2x}=\frac{1}{\sin^2x}\\ \cos x=\frac{\sin x}{\tan x} \end{align*}$$
計算
$\sin(\arccos x)$の計算
$$\begin{align*} \sin^2(\arccos x)&=1-\cos^2(\arccos x)\\ &=1-x^2 \end{align*}$$これと$0\leq\sin(\arccos x)$より、$$\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}$$$\sin(\arctan x)$の計算
$x>0$のとき、
$$\begin{align*} \frac{1}{\sin^2(\arctan x)}&=1+\frac{1}{\tan^2(\arctan x)}\\ &=1+\frac{1}{x^2}\\ &=\frac{1+x^2}{x^2} \end{align*}$$これと$\sin(\arctan x)>0$より、$$\sin(\arctan x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$
これは$x\leq0$でも成立する。$\cos(\arcsin x)$の計算
$$\begin{align*} \cos^2(\arcsin x)&=1-\sin^2(\arcsin x)\\ &=1-x^2 \end{align*}$$これと$0\leq\cos(\arcsin x)$より、$$\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$$$\cos(\arctan x)$の計算
$x\neq0$のとき、
$$\begin{align*} \cos(\arctan x)&=\frac{\sin(\arctan x)}{\tan(\arctan x)}\\ &=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\cdot\frac{1}{x}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\end{align*}$$これは$x=0$でも成立する。$\tan(\arcsin x)$の計算
$$\begin{align*} \tan(\arcsin x)&=\frac{\sin(\arcsin x)}{\cos(\arcsin x)}\\ &=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \end{align*}$$$\tan(\arccos x)$の計算
$$\begin{align*} \tan(\arccos x)&=\frac{\sin(\arccos x)}{\cos(\arccos x)}\\ &=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \end{align*}$$
まとめ
$$\begin{align*} \sin(\arccos x)&=\sqrt{1-x^2} & \sin(\arctan x)&=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\\ \cos(\arcsin x)&=\sqrt{1-x^2} & \cos(\arctan x)&=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\ \tan(\arcsin x)&=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} & \tan(\arccos x)&=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \end{align*}$$
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