ちょっと強めの線形空間の基底変換について

$b_1,\dots ,b_m$で張られる$V$の部分空間を$S_m=⟨b_1,\dots ,b_m⟩$とすると, ある $c_{i_{m+1}}$$(1\le i_{m+1}\le n)$について $c_{i_{m+1}}\notin S_m$ が成り立つ. なぜなら, すべての$i,1\le i\le n$について$c_i\in S_m$とすれば, $V=⟨c_1,\dots ,c_n⟩\subset S_m$となり, $\dim V=n$に反するからである.
よって$c_{i_{m+1}}\notin S_m$であるから, $S_{m,1}=⟨b_1,\dots ,b_m,c_{i_{m+1}}⟩$ とすれば,$b_1,\dots ,b_m,c_{i_{m+1}}$は一次独立であり,$S_m⫋S_{m,1}$が得られる。
$m=n-1$の場合, これで証明は完了する.
$m<n-1$の場合, ある $c_{i_{m+2}}$ $(1\le i_{m+2}\le n,i_{m+2}\ne i_{m+1})$について $c_{i_{m+2}}\notin S_{m,1}$が成り立つ.なぜなら, すべての$i,1\le i\le n,i\ne i_{m+1}$について$c_i\in S_{m,1}$とすれば, $V=⟨c_1,\dots ,c_n⟩\subset S_{m,1}$となり,やはり$\dim V=n$に反するからである.
同様の議論によって, 帰納的に, 一次独立な$V$の$n$個の元 $b_1,\dots ,b_m,c_{i_{m+1}},\dots ,c_{i_n}$が存在して,
$$S_{m,n-m}=⟨b_1,\dots ,b_m,c_{i_{m+1}},\dots ,c_{i_n}⟩=V$$
である.
したがって, $\{1,\dots ,n\}$の置換$\sigma$を$\sigma (k)=i_k,m+1\le k\le n$となるように定めれば,
$$b_1,\dots ,b_m,c_{\sigma (m+1)},\dots ,c_{\sigma (n)}$$
は$V$の基底である. □

$A$の$(i,j)$成分を$a_{i,j}$とする.
また, 写像$\{j_1,\dots ,j_k\}\to \{j_1,\dots ,j_k\}$のうち全単射であるもの全体の集合と$k$次対称群${\mathfrak{S}}_k$を対応 $p\mapsto j_p(1\le p\le k)$によって同一視する.
それから,$\{1,\dots ,n\}\setminus \{i_1,\dots ,i_k\}=\{{\tilde{i}}_1,\dots ,{\tilde{i}}_{n-k}\}$,$\{1,\dots ,n\}\setminus \{j_1,\dots ,j_k\}=\{{\tilde{j}}_1,\dots ,{\tilde{j}}_{n-k}\}$ と表しておくこととし, 写像$\{{\tilde{j}}_1,\dots ,{\tilde{j}}_{n-k}\}\to \{{\tilde{j}}_1,\dots ,{\tilde{j}}_{n-k}\}$うち全単射であるもの全体の集合と$(n-k)$次対称群 ${\mathfrak{S}}_{n-k}$を同様に同一視する.
以上の同一視の下で,
$$\sum _{1\le j_1<j_2<\dots <j_k\le n}d(i_1,i_2,\dots ,i_k;j_1,j_2,\dots ,j_k)\tilde{d}(i_1,i_2,\dots ,i_k;j_1,j_2,\dots ,j_k)$$
$$=\sum _{1\le j_1<j_2<\dots <j_k\le n}\sum _{\sigma \in {\mathfrak{S}}_k}sgn(\sigma )a_{i_1,\sigma (j_1)}\dots a_{i_k,\sigma (j_k)}\times (-1{)}^{I+J}\sum _{\tau \in {\mathfrak{S}}_{n-k}}sgn(\tau )a_{{\tilde{i}}_1,\tau ({\tilde{j}}_1)}\dots a_{{\tilde{i}}_{n-k},\tau ({\tilde{j}}_{n-k})}\cdots \mathrm{①}$$

ここで, $\sigma \in {\mathfrak{S}}_k$を${\mathfrak{S}}_n$の元であって$j_1,\dots ,j_k$以外を動かさないものと同一視し,$\tau \in {\mathfrak{S}}_{n-k}$を${\mathfrak{S}}_n$の元であって$j_1,\dots ,j_k$を動かさないものと同一視できる.
この同一視において,
$$\sigma (j_p)=\sigma \tau (j_p)(1\le p\le k),\tau ({\tilde{j}}_q)=\sigma \tau ({\tilde{j}}_q)(1\le q\le n-k)$$
が成り立つこと,それと $\sigma \in {\mathfrak{S}}_k$および$\tau \in {\mathfrak{S}}_{n-k}$が全体を動くとき,$\sigma \tau$が$\{\psi \in {\mathfrak{S}}_n|\psi (\{j_1,j_2,\dots ,j_k\})=\{j_1,\dots ,j_k\}\}$全体を動くことに注意すると, ①は次のように変形できる.

$$\sum _{1\le j_1<j_2<\dots <j_k\le n}(-1{)}^{I+J}\sum _{\psi \in {\mathfrak{S}}_n,\psi (\{j_1,j_2,\dots ,j_k\})=\{j_1,\dots ,j_k\}}sgn(\psi )a_{i_1,\psi (j_1)}\dots a_{i_k,\psi (j_k)}{a}_{{\tilde{i}}_1,\psi ({\tilde{j}}_1)}\dots a_{{\tilde{i}}_{n-k},\psi ({\tilde{j}}_{n-k})}\cdots \mathrm{②}$$

ここで, $sgn(\psi )a_{i_1,\psi (j_1)}\dots a_{i_k,\psi (j_k)}{a}_{{\tilde{i}}_1,\psi ({\tilde{j}}_1)}\dots a_{{\tilde{i}}_{n-k},\psi ({\tilde{j}}_{n-k})}$ は,次の行列$B=(b_{i,j})$の行列式の項を表す.
$$b_{i,j}=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{a}_{i_p,j_q}(1\le p\le k,1\le q\le k)\\ a_{i_p,{\tilde{j}}_{q-k}}(1\le p\le k,k+1\le q\le n)\\ a_{{\tilde{i}}_{p-k},{\tilde{j}}_{q-k}}(k+1\le p\le n,1\le q\le k)\\ a_{{\tilde{i}}_{p-k},{\tilde{j}}_{q-k}}(k+1\le p\le n,k+1\le q\le n)\end{array}\end{array}$$

この行列$B$は,$A$から次のように行基本変形と列基本変形を施すことによって得られる.
　$A$の$i_1$行目が1行目に来るように, 隣同士の行を$i_1-1$回交換する.
　$A$の$i_2$行目が2行目に来るように, 隣同士の行を$i_2-2$回交換する.
　……
　$A$の$i_k$行目が$k$行目に来るように, 隣同士の行を$i_k-k$回交換する.
　$A$の$j_1$列目が1列目に来るように, 隣同士の列を$j_1-1$回交換する.
　$A$の$j_2$列目が2列目に来るように, 隣同士の列を$j_2-2$回交換する.
　……
　$A$の$j_k$列目が$k$列目に来るように, 隣同士の列を$j_k-k$回交換する.

したがって,
$$\det B=(-1{)}^{\sum _{p=1}^k(i_p-p)+\sum _{q=1}^k(j_q-q)}\det A=(-1{)}^{I+J}\det A$$
が成り立つ.

このことに注意して, 上記基本変形に対応する置換を各項 $sgn(\psi )a_{i_1,\psi (j_1)}\dots a_{i_k,\psi (j_k)}{a}_{{\tilde{i}}_1,\psi ({\tilde{j}}_1)}\dots a_{{\tilde{i}}_{n-k},\psi ({\tilde{j}}_{n-k})}$ で考える. すなわち, 以下の置換を行および列に施す.
$\left(\begin{array}{cccccc}{i}_1& \dots & i_k& {\tilde{i}}_1& \dots & {\tilde{i}}_{n-k}\\ 1& \dots & k& k+1& \dots & n\end{array}\right)$,$\left(\begin{array}{cccccc}{j}_1& \dots & j_k& {\tilde{j}}_1& \dots & {\tilde{j}}_{n-k}\\ 1& \dots & k& k+1& \dots & n\end{array}\right)$

すると, ②は次の式に等しいことがわかる.

$$\sum _{1\le j_1<j_2<\dots <j_k\le n}\sum _{\phi \in {\mathfrak{S}}_n,\phi (\{1,2,\dots ,k\})=\{j_1,\dots ,j_k\}}sgn(\phi )a_{1,\phi (1)}\dots a_{k,\phi (k)}{a}_{k+1,\phi (k+1)}\dots a_{n,\phi (n)}$$
$1\le j_1<j_2<\dots <j_k\le n$ を動かして和をとると, これは$\det A$に等しい. □

$A$が可逆であることから,
$$\det A=\sum _{1\le j_1<j_2<\dots <j_k\le n}d(i_1,i_2,\dots ,i_k;j_1,j_2,\dots ,j_k)\tilde{d}(i_1,i_2,\dots ,i_k;j_1,j_2,\dots ,j_k)\ne 0$$
が成り立つので, 少なくとも1つの組$\{j_1,\dots j_k\}$について,
$$d(i_1,i_2,\dots ,i_k;j_1,j_2,\dots ,j_k)\tilde{d}(i_1,i_2,\dots ,i_k;j_1,j_2,\dots ,j_k)\ne 0$$
よって, 各$j_p(1\le p\le k)$列が$p$列に来るように列を入れ替えると, 求める可逆行列を得る. □

補題3より, 基底$\mathcal{C}=\{c_1,\dots ,c_n\}$を適当に並べ替えた${\mathcal{C}}^{\prime }=\{c_{\sigma (1)},\dots ,c_{\sigma (n)}\}$ の基底$\mathcal{B}$による表現行列$A$は可逆行列であり, さらに
$$A=\left(\begin{array}{cc}{A}_{m,m}& B_{m,n-m}\\ C_{m,n-m}& A_{n-m,n-m}\end{array}\right)$$
と区分けしたとき, $m\times m$行列$A_{m,m}$および$(n-m)\times (n-m)$行列$A_{n-m,n-m}$がともに可逆となるようにできる.
$$b_1,\dots ,b_m,c_{\sigma (m+1)},\dots ,c_{\sigma (n)}$$を基底$\mathcal{B}$で表現した行列は
$$X=\left(\begin{array}{cc}{E}_{m,m}& B_{m,n-m}\\ O_{m,n-m}& A_{n-m,n-m}\end{array}\right)$$
となり, 可逆であるから,
$$b_1,\dots ,b_m,c_{\sigma (m+1)},\dots ,c_{\sigma (n)}$$
は$V$の基底である.
また,
$$c_{\sigma (1)},\dots ,c_{\sigma (m)},b_{m+1},\dots ,b_n$$を基底$\mathcal{B}$で表現した行列は
$$Y=\left(\begin{array}{cc}{A}_{m,m}& O_{m,n-m}\\ C_{m,n-m}& E_{n-m,n-m}\end{array}\right)$$
となり, 可逆であるから,
$$c_{\sigma (1)},\dots ,c_{\sigma (m)},b_{m+1},\dots ,b_n$$
は$V$の基底である. □