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sl2自然表現/Lorentzブースト/sl2exp明示公式

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光速c=1の単位系です。適宜次元を合わせてくださいまし。
tanh1tanhの逆関数。

Lorentz変換の微分作用素表示

(x,t)=exp[(xt+tx)tanh1V](x,t)=(Vt+x,tVx)1V2

こんばんは(´・ω・)ノ こちらが今日紹介するメインとなります(^^*)準備をして証明を行った後、基本的な性質との対応を見ます。

sl2のexp明示公式

A=(a0a+aa0),ϕ=a02+a+aとする。このとき
eA=(coshϕ+a0ϕ1sinhϕa+ϕ1sinhϕaϕ1sinhϕcoshϕa0ϕ1sinhϕ)

対角化してドーンです。
A=12ϕ(ϕ+a0ϕ+a0aa)(ϕ00ϕ)(aϕa0aϕ+a0)
eA=12ϕ(ϕ+a0ϕ+a0aa)(eϕ00eϕ)(aϕa0aϕ+a0)
ϕは±の不定性がありますがcoshz,z1sinhzが偶関数なので問題なく表せます。

交換子積を[A,B]=ABBAとすると以下のリー代数準同型が作れます。

sl2の微分作用素表現

sl2CE0CE+CEE+:=txE:=xtE0:=ttxx[E+,E]=E0[E0,E+]=2E+[E,E0]=2E

実際に準同型を満たしていることの確認です。
[E+,E]f(x,t)=tx(xft)xt(fx)=tftxfx=E0f(x,t)
[E0,E+]f(x,t)=tt(tfx)xx(tfx)tx(tftxfx)=2E+f(x,t)
[E,E0]f(x,t)=xt(tftxfx)tt(xft)+xx(xft)=2Ef(x,t)

一方行列表現もあります。

sl2の自然表現

ρ(E0)=(1001)ρ(E+)=(0100)ρ(E)=(0010)

実際に同じような交換関係が成立します。これは微分作用素表現が自然表現に対応する行列と同等に使えることを示しています。
[ρ(E+),ρ(E)]=ρ(E0)[ρ(E0),ρ(E+)]=2ρ(E+)[ρ(E),ρ(E0)]=2ρ(E)

並進・スケール変換作用素の微分作用素表示

eazg(z)=g(z+a)
azzg(z)=g(az)

生成元についてのLie代数とLie群の対応

x,tのベクトルへの作用
eaE+(xt)=(x+att)=eaρ(E+)(xt)
eaE(xt)=(xt+ax)=eaρ(E)(xt)
aE0(xt)=(x/aat)=aρ(E0)(xt)

行列を転置したのでa0の符号が逆転してます。
各生成元毎に2次正方行列をUDL分解すれば一般のLie環の元に対してもexpを明示的に書き表せます

Lie代数とLke群の対応

exp(a0E0+a+E++aE)g(xt)=g(eA(xt))

オーバーキルな公式を導きました(僕的にはこっちをtexにおこす方がメインの内容だったんですがw)

A=(0tanh1Vtanh1V0)
としましょう。そうすれば冒頭の定理を得られます!!!

Lorentz変換の微分作用素表示(再掲)

(x,t)=exp[(xt+tx)tanh1V](x,t)=(Vt+x,tVx)1V2

この表示から見られる性質を述べます。

(xt+tx)(t2x2)=0
なのでこの線形変換は作用でMinkowski距離D2=t2x2を保つことが分かります:

exp[(xt+tx)tanh1V]D2=D2
Lorentz変換の要請を満たし、かつ時間が絡む線形変換であると確かめられました!
Lorentz変換の合成V1V2=V3について見ましょう。作用素が指数関数の形になっているので
exp[(xt+tx)(tanh1V1+tanh1V2)]=exp[(xt+tx)tanh1V3]
さらにtanhの加法定理を用いると
V3=V1V2=V1+V21+V1V2
が得られます。V(1,1)が群をなすという感じですね〜〜

とまぁそんな感じです。Lie代数の生成子の考えを突き進めて、次の文献
http://t-ikeda.akira.ne.jp/enter/science/phys/relativity/relativity18.pdf
が読めるでしょう。
読んでいただきありがとうございました(・ω・)_ _)

投稿日:2021418
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赤げふ
赤げふ
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東工大情報M1 数学,理論物理,Minecraft計算機/微分演算子の記事を書きます/主に表現論,量子群,物理の数理に興味があります

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