sl2自然表現/Lorentzブースト/sl2exp明示公式

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光速 $c = 1$ の単位系です。適宜次元を合わせてくださいまし。
$\tanh^{- 1}$ は $\tanh$ の逆関数。

Lorentz変換の微分作用素表示

$(x^{'}, t^{'}) = \exp [- (x \frac{\partial}{\partial t} + t \frac{\partial}{\partial x}) \tanh^{- 1} V] ･ (x, t) = \frac{(- V t + x, t - V x)}{\sqrt{1 - V^{2}}}$

こんばんは(´･ω･)ﾉこちらが今日紹介するメインとなります(^^*)準備をして証明を行った後、基本的な性質との対応を見ます。

sl2のexp明示公式

$A = \begin{array}{r} (\begin{array}{cc} a_{0} & a_{+} \\ a_{-} & - a_{0} \end{array}) \end{array}$ , $ϕ = \sqrt{a_{0}^{2} + a_{+} a_{-}}$ とする。このとき
$e^{A} = \begin{array}{r} (\begin{array}{cc} \cosh ϕ + a_{0} ϕ^{- 1} \sinh ϕ & a_{+} ϕ^{- 1} \sinh ϕ \\ a_{-} ϕ^{- 1} \sinh ϕ & \cosh ϕ - a_{0} ϕ^{- 1} \sinh ϕ \end{array}) \end{array}$

対角化してドーンです。
$A = \frac{1}{2 ϕ} \begin{array}{r} (\begin{array}{cc} ϕ + a_{0} & - ϕ + a_{0} \\ a_{-} & a_{-} \end{array}) (\begin{array}{cc} ϕ & 0 \\ 0 & - ϕ \end{array}) (\begin{array}{cc} a_{-} & ϕ - a_{0} \\ - a_{-} & ϕ + a_{0} \end{array}) \end{array}$
$\begin{array}{r} e^{A} = \frac{1}{2 ϕ} (\begin{array}{cc} ϕ + a_{0} & - ϕ + a_{0} \\ a_{-} & a_{-} \end{array}) (\begin{array}{cc} e^{ϕ} & 0 \\ 0 & e^{- ϕ} \end{array}) (\begin{array}{cc} a_{-} & ϕ - a_{0} \\ - a_{-} & ϕ + a_{0} \end{array}) \end{array}$
$ϕ$ は±の不定性がありますが $\cosh z, z^{- 1} \sinh z$ が偶関数なので問題なく表せます。

交換子積を $[A, B] = A B - B A$ とすると以下のリー代数準同型が作れます。

sl2の微分作用素表現

$\begin{aligned} s l_{2} & ≅ C E_{0} \oplus C E_{+} \oplus C E_{-} \\ E_{+} & := t \frac{\partial}{\partial x} \\ E_{-} & := x \frac{\partial}{\partial t} \\ E_{0} & := t \frac{\partial}{\partial t} - x \frac{\partial}{\partial x} \\ [E_{+}, E_{-}] & = E_{0} \\ [E_{0}, E_{+}] & = 2 E_{+} \\ [E_{-}, E_{0}] & = 2 E_{-} \end{aligned}$

実際に準同型を満たしていることの確認です。
$[E_{+}, E_{-}] \cdot f (x, t) = t \frac{\partial}{\partial x} \cdot (x f_{t}) - x \frac{\partial}{\partial t} \cdot (f_{x}) = t f_{t} - x f_{x} = E_{0} ･ f (x, t)$
$[E_{0}, E_{+}] \cdot f (x, t) = t \frac{\partial}{\partial t} \cdot (t f_{x}) - x \frac{\partial}{\partial x} (t f_{x}) - t \frac{\partial}{\partial x} \cdot (t f_{t} - x f_{x}) = 2 E_{+} \cdot f (x, t)$
$[E_{-}, E_{0}] \cdot f (x, t) = x \frac{\partial}{\partial t} \cdot (t f_{t} - x f_{x}) - t \frac{\partial}{\partial t} \cdot (x f_{t}) + x \frac{\partial}{\partial x} \cdot (x f_{t}) = 2 E_{-} \cdot f (x, t)$

一方行列表現もあります。

sl2の自然表現

$\begin{array}{r} ρ (E_{0}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \\ ρ (E_{+}) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \\ ρ (E_{-}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \end{array}$

実際に同じような交換関係が成立します。これは微分作用素表現が自然表現に対応する行列と同等に使えることを示しています。
$\begin{aligned} [ρ (E_{+}), ρ (E_{-})] & = ρ (E_{0}) \\ [ρ (E_{0}), ρ (E_{+})] & = 2 ρ (E_{+}) \\ [ρ (E_{-}), ρ (E_{0})] & = 2 ρ (E_{-}) \end{aligned}$

並進･スケール変換作用素の微分作用素表示

$e^{a \frac{\partial}{\partial z}} ･ g (z) = g (z + a)$
$a^{z \frac{\partial}{\partial z}} ･ g (z) = g (a z)$

生成元についてのLie代数とLie群の対応

x,tのベクトルへの作用
$e^{a E_{+}} ･ (\binom{x}{t}) = (\binom{x + a t}{t}) = e^{a ρ (E_{+})} (\binom{x}{t})$
$e^{a E_{-}} ･ (\binom{x}{t}) = (\binom{x}{t + a x}) = e^{a ρ (E_{-})} (\binom{x}{t})$
$a^{E_{0}} ･ (\binom{x}{t}) = (\binom{x / a}{a t}) = a^{- ρ (E_{0})} (\binom{x}{t})$

行列を転置したので $a_{0}$ の符号が逆転してます。
各生成元毎に2次正方行列をUDL分解すれば一般のLie環の元に対してもexpを明示的に書き表せます

Lie代数とLke群の対応

$\exp (- a_{0} E_{0} + a_{+} E_{+} + a_{-} E_{-}) ･ g (\binom{x}{t}) = g (e^{A} ･ (\binom{x}{t}))$

オーバーキルな公式を導きました(僕的にはこっちをtexにおこす方がメインの内容だったんですがw)

$A = \begin{array}{r} (\begin{array}{cc} 0 & - \tanh^{- 1} V \\ - \tanh^{- 1} V & 0 \end{array}) \end{array}$
としましょう。そうすれば冒頭の定理を得られます！！！

Lorentz変換の微分作用素表示(再掲)

$(x^{'}, t^{'}) = \exp [- (x \frac{\partial}{\partial t} + t \frac{\partial}{\partial x}) \tanh^{- 1} V] ･ (x, t) = \frac{(- V t + x, t - V x)}{\sqrt{1 - V^{2}}}$

この表示から見られる性質を述べます。

$(x \frac{\partial}{\partial t} + t \frac{\partial}{\partial x}) ･ (t^{2} - x^{2}) = 0$
なのでこの線形変換は作用でMinkowski距離 $D^{2} = t^{2} - x^{2}$ を保つことが分かります:

$\exp [- (x \frac{\partial}{\partial t} + t \frac{\partial}{\partial x}) \tanh^{- 1} V] ･ D^{2} = D^{2}$
Lorentz変換の要請を満たし、かつ時間が絡む線形変換であると確かめられました!
Lorentz変換の合成 $V_{1} \oplus V_{2} = V_{3}$ について見ましょう。作用素が指数関数の形になっているので
$\exp [- (x \frac{\partial}{\partial t} + t \frac{\partial}{\partial x}) (\tanh^{- 1} V_{1} + \tanh^{- 1} V_{2})] = \exp [- (x \frac{\partial}{\partial t} + t \frac{\partial}{\partial x}) \tanh^{- 1} V_{3}]$
さらに $t a n h$ の加法定理を用いると
$V_{3} = V_{1} \oplus V_{2} = \frac{V_{1} + V_{2}}{1 + V_{1} V_{2}}$
が得られます。 $V \in (- 1, 1) で \oplus$ が群をなすという感じですね〜〜