今回は先日twitterに投稿した問題の解説をしたいと思います。
問題はこちらです。
を求めよ.
を求めよ.
解説です.
まずは
とわかります.そこで,十分大きい
であることを示します.
右側の不等号は明らか.
左側の不等号は
なので十分大きい
これと
であり,
積分を直接解こうとしても置換積分や部分積分ではうまくいきません.
そこで,
ですが,式に被積分関数にある
なので,
よって,
なので,
です.この式の両辺で
よって
したがって
です.
ここで,
相加相乗平均の不等式と
よって,任意の
であり,
で,ここで
ゆえに
今回の問題は「和の極限」→「積分」ではなく「積分」→「和の極限」として解く問題でした。
普段と逆の手順なのでなかなか思いつくのが難しかったんではないでしょうか。
ちなみに
最後まで読んでくださりありがとうございました。