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大学数学基礎解説
文献あり

twitterに投稿した積分の問題の解説

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はじめに

今回は先日twitterに投稿した問題の解説をしたいと思います。
問題はこちらです。


(1)aa>1なる実数,nを整数とする.
  limn|an1|1n
  を求めよ.
(2)r>1なる実数rに対し,
  02πlog(r+cosx)dx
  を求めよ.

(1)の解説

解説です.
まずは(1)から.(2)に比べると(1)は簡単なのではないでしょうか.
a>1なので,十分大きいnan1an
とわかります.そこで,十分大きいn
an1<an1<an
であることを示します.
右側の不等号は明らか.
左側の不等号はa1>0nan1に注意すると,十分大きいn
(a1)an1>1
なので十分大きいnで成立します.
これとa>0より,十分大きいnに対し,
a11n<|an1|1n<a
であり,nで最左辺,最右辺は共にaに収束するので,はさみうちの原理より,
limn|an1|1n=a

(2)の解説

積分を直接解こうとしても置換積分や部分積分ではうまくいきません.
そこで,(1)が使えないかと考えます.
|an1|1nのままでは扱いづらいので,自然対数をとってみます.
log(|an1|1n)=1nlog|an1|
ですが,式に被積分関数にあるcosがまだ出てないのでどうにかcosを出現させたいと考えると,an1が因数分解できることに気づきます.
(ここがかなり難しい)
xn1=0の解がx=cos(2kπn)+isin(2kπn) (1kn,k)
なので,
log(|an1|)=k=1nlog(|acos(2kπn)isin(2kπn)|)
よって,
log(|an1|2)=k=1nlog(a2+12acos(2kπn))
なので,
2log(|an1|1n)=12π2πnk=1nlog(a2+12acos(2kπn))
です.この式の両辺でnの極限をとると,logは連続なので,
2loga=12π02πlog(a2+12acosx)dx
よって
4πloga=02πlog(a2+12acosx)dx=2πlog2a+02πlog(a2+12acosx)dx
したがって
2πloga2=02πlog(a2+12acosx)dx
です.
ここで,a2+12a=rとおくと,
相加相乗平均の不等式とa1よりr>1がわかり,それとa>1よりa=r+r21なので任意のr>1なる実数rに対し,a2+12a=rなる実数aで,a>1であるものが存在します.
よって,任意のr>1なる実数rに対し,
02πlog(rcosx)dx=2πlog(r+r212)
であり,cosの周期性より02πlog(rcosx)dx=ππlog(rcosx)dx
で,ここでx=πθと置換すると
ππlog(rcosx)dx=02πlog(r+cosθ)dθ
ゆえに
02πlog(r+cosx)dx=2πlog(r+r212)

おわりに

今回の問題は「和の極限」→「積分」ではなく「積分」→「和の極限」として解く問題でした。
普段と逆の手順なのでなかなか思いつくのが難しかったんではないでしょうか。
ちなみに(1)2012京大理系数学1(1)に類題があります。
最後まで読んでくださりありがとうございました。

参考文献

投稿日:2021419
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  1. はじめに
  2. $(1)$の解説
  3. $(2)$の解説
  4. おわりに
  5. 参考文献