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積分解説05

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

2020/06/23に出題した問題です。
https://twitter.com/sounansya_29/status/1275397261556453378?s=21

$$ \displaystyle \int_0^\frac\pi2 \cos\log\tan xdx $$

[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^\frac\pi2 \cos\log\tan xdx\\ &=&\Re\int_0^\frac\pi2 \tan^ixdx\\ &=&\Re\int_0^\frac\pi2 \frac{\sin^ix}{\cos^ix}dx\\ &=&\frac12\Re\text{B}\left(\frac{1+i}2,\frac{1-i}2\right)\\ &=&\frac12\Re\frac{\Gamma\left(\frac{1+i}2\right)\Gamma\left(\frac{1-i}2\right)}{\Gamma(1)}\\ &=&\frac12\Re\frac\pi{\sin\frac{1+i}2\pi}\\ &=&\frac\pi2\text{sech}\frac\pi2 \end{eqnarray*} $
よって、この問題の解答は$\displaystyle \frac\pi2\text{sech}\frac\pi2$となります。
ちなみにですが、$\displaystyle \int_0^\frac\pi2 \sin\log\tan xdx=\Im \int_0^\frac\pi2 \tan^ixdx=0$となります。

投稿日:2020117

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投稿者

神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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