積分解説05

2020/06/23に出題した問題です。
https://twitter.com/sounansya_29/status/1275397261556453378?s=21

[解説]
$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos \log \tan xdx\\ & =& \mathrm{Re}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\tan }^{i}xdx\\ & =& \mathrm{Re}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\sin }^{i}x}{{\cos }^{i}x}dx\\ & =& \frac{1}{2}\mathrm{Re}\text{B}(\frac{1+i}{2},\frac{1-i}{2})\\ & =& \frac{1}{2}\mathrm{Re}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1+i}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1-i}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }(1)}\\ & =& \frac{1}{2}\mathrm{Re}\frac{\pi }{\sin \frac{1+i}{2}\pi }\\ & =& \frac{\pi }{2}\text{sech}\frac{\pi }{2}\end{array}$
よって、この問題の解答は${\displaystyle \frac{\pi }{2}\text{sech}\frac{\pi }{2}}$となります。
ちなみにですが、${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin \log \tan xdx=\mathrm{Im}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\tan }^{i}xdx=0}$となります。