積分解説05

2020/06/23に出題した問題です。
https://twitter.com/sounansya_29/status/1275397261556453378?s=21

[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^\frac\pi2 \cos\log\tan xdx\\ &=&\Re\int_0^\frac\pi2 \tan^ixdx\\ &=&\Re\int_0^\frac\pi2 \frac{\sin^ix}{\cos^ix}dx\\ &=&\frac12\Re\text{B}\left(\frac{1+i}2,\frac{1-i}2\right)\\ &=&\frac12\Re\frac{\Gamma\left(\frac{1+i}2\right)\Gamma\left(\frac{1-i}2\right)}{\Gamma(1)}\\ &=&\frac12\Re\frac\pi{\sin\frac{1+i}2\pi}\\ &=&\frac\pi2\text{sech}\frac\pi2 \end{eqnarray*} $
よって、この問題の解答は$\displaystyle \frac\pi2\text{sech}\frac\pi2$となります。
ちなみにですが、$\displaystyle \int_0^\frac\pi2 \sin\log\tan xdx=\Im \int_0^\frac\pi2 \tan^ixdx=0$となります。