Radon変換（後半）

$O(n)$を直交群する. $O(n)$はコンパクトLie群であるので, その正規化されたHaar測度を$dg$と定めておく:
$$ \int_{O(n)}dg=1. $$

$|\boldsymbol x|=r$を満たす$\boldsymbol x\in\mathbb{R}^n$を引数に持つ関数$f$の回転平均
\begin{equation} \int_{O(n)}f(g\boldsymbol x)\,dg \end{equation}
を考えよう. 以下のような関係,
\begin{equation} \int_{O(n)}f(g{\boldsymbol x})\,dg=\frac{1}{\Omega_n}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}f(r{\boldsymbol e})\,d\gamma({\boldsymbol e}) \end{equation}
があるので, 双対Radon変換は固定したベクトル$\boldsymbol e_0\in\mathbb{R}^n$に対して,
$$ \mathcal{R}^*[\varphi](\boldsymbol x)=\frac{1}{\Omega_n}\int_{\mathbb{S}^{n-1}} \varphi(\boldsymbol e,\langle \boldsymbol x,\boldsymbol e\rangle)\,d\gamma(\boldsymbol e)=\int_{O(n)}\varphi(g{\boldsymbol e_0},\langle \boldsymbol x,g{\boldsymbol e_0}\rangle)\,dg $$
と書くことが出来る.

従って, Radon変換の双対Radon変換は,
$$ \begin{split} \mathcal{R}^*[\mathcal{R}[f]](\boldsymbol x)&=\int_{O(n)}\mathcal{R}[f](g{\boldsymbol e_0},\langle \boldsymbol x,g{\boldsymbol e_0}\rangle)\,dg=\int_{O(n)}\int_{\langle \boldsymbol y,g{\boldsymbol e_0}\rangle=\langle \boldsymbol x,g{\boldsymbol e_0}\rangle}f(\boldsymbol y)\,d\boldsymbol y\,dg\\ \end{split} $$
となるが, 積分領域に注意すれば, 以下を得る:
$$ \begin{split} \mathcal{R}^*[\mathcal{R}[f]](x)&=\int_{O(n)}\int_{\boldsymbol y'\in \{g\boldsymbol e_0\}^\perp}f(\langle \boldsymbol x,g{\boldsymbol e_0}\rangle g{\boldsymbol e_0}+\boldsymbol y')\,d\boldsymbol y' \,dg\\ \end{split}. $$

次に, $\boldsymbol x=\langle \boldsymbol x, g\boldsymbol e_0\rangle g\boldsymbol e_0+\langle \boldsymbol x, g\boldsymbol e_0^\perp\rangle g \boldsymbol e_0^\perp$なる$\boldsymbol x$の直交分解から
$$ \begin{split} \int_{O(n)}\int_{\boldsymbol y'\in \{g\boldsymbol e_0\}^\perp}f(\langle \boldsymbol x,g{\boldsymbol e_0}\rangle g{\boldsymbol e_0}+\boldsymbol y')\,d\boldsymbol y' \,dg&=\int_{O(n)}\int_{\boldsymbol y'\in \{g\boldsymbol e_0\}^\perp}f(\boldsymbol x-\langle \boldsymbol x,g\boldsymbol e_0^\perp\rangle g\boldsymbol e_0^\perp+\boldsymbol y')\,d\boldsymbol y' \,dg \end{split} $$
となるが, $-\langle \boldsymbol x,g\boldsymbol e_0^\perp\rangle g\boldsymbol e_0^\perp $は$\{g\boldsymbol e_0\}^\perp$の元であることに留意すると, 以下のように式変形が出来る:

$$ \begin{split} \mathcal{R}^*[\mathcal{R}[f]](x)&=\int_{O(n)}\int_{\boldsymbol y'\in \{g\boldsymbol e_0\}^\perp}f( \boldsymbol x +\boldsymbol y')\,d\boldsymbol y' \,dg=\int_{O(n)}\int_{\boldsymbol z'\in \mathbb{R}^{n-1}}f( \boldsymbol x +g\boldsymbol z')\,d\boldsymbol z' \,dg.\\ \end{split} $$
第一積分を極座標表示して, Fubiniの定理を用いると,
$$ \begin{split} \mathcal{R}^*[\mathcal{R}[f]](x) &=\int_{O(n)}\int_0^\infty\int_{\mathbb{S}^{n-2}}f( \boldsymbol x +rg\boldsymbol e')r^{n-2}\,d \gamma(\boldsymbol e')\,dr \,dg\\ &=\int_0^\infty\int_{\mathbb{S}^{n-2}}\int_{O(n)}f( \boldsymbol x +rg\boldsymbol e')r^{n-2}\,dg\,d \gamma(\boldsymbol e')\,dr\\ \end{split} $$
となり, $\mathbb{S}^{n-1}$上の積分と, 直交座標表示から,
$$ \begin{split} \mathcal{R}^*[\mathcal{R}[f]](x) &=\frac{1}{\Omega_n}\int_0^\infty\int_{\mathbb{S}^{n-2}}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}f( \boldsymbol x +r\boldsymbol e)r^{n-2}\,d\gamma(\boldsymbol e)\,d \gamma(\boldsymbol e')\,dr\\ &=\frac{1}{\Omega_n}\int_0^\infty\left\{\int_{\mathbb{S}^{n-2}}\,d \gamma(\boldsymbol e')\int_{\mathbb{S}^{n-1}}f( \boldsymbol x +r\boldsymbol e)r^{n-2}\,d\gamma(\boldsymbol e)\right\}\,dr\\ &=\frac{\Omega_{n-1}}{\Omega_n}\int_0^\infty\int_{\mathbb{S}^{n-1}}f( \boldsymbol x +r\boldsymbol e)r^{n-2}\,d\gamma(\boldsymbol e)\,dr\\ &=\frac{\Omega_{n-1}}{\Omega_n}\int_{\mathbb{R}^{n}}\frac{f( \boldsymbol x +\boldsymbol y)}{|\boldsymbol y|}\,d\boldsymbol y\\ \end{split} $$
を得て, 証明が完了する.

Rieszポテンシャルによる表現,
$$ (-\Delta)^{-p}f=I^{2p}f $$
を用いれば, 補題1の結果を
$$ \begin{split} \mathcal{R}^*[\mathcal{R}[f]](\boldsymbol x)&=2^{n-1}\pi^{\frac{n-2}{2}}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)I^{n-1}f(\boldsymbol x)\\ &=2^{n-1}\pi^{\frac{n-2}{2}}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)(-\Delta)^{-\frac{n-1}{2}}f(\boldsymbol x) \end{split} $$
と書くことが出来る. 従って, 擬微分作用素の意味で$(-\Delta)^{\frac{n-1}{2}}$を作用させれば,
$$ \begin{split} \Delta^{\frac{n-1}{2}} \mathcal{R}^*[\mathcal{R}[f]](\boldsymbol x)&=2^{n-1}\pi^{\frac{n-2}{2}}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)(-\Delta)^{\frac{n-1}{2}}(-\Delta)^{-\frac{n-1}{2}}f(\boldsymbol x)\\ &=C_nf(\boldsymbol x) \end{split} $$
となり, 証明が完了する.