を と表示する. このとき は の素イデアルとなる.
の相異なる素イデアル について なる射影が取れる. このとき, 変数の取り換えにより が の超越基底になるとしてよい. するとこれは の超越基底となるため, となる.
このとき, 超越次元が一致しているならば, とおくと, は とも とも非交である. このとき は体となるため, の仮定に反する.
よってこのことから が言える.
逆に を示す。 を と表示する. このとき, が で 上超越的であるとする. を とおくと, は 上有限生成代数かつ整域となるため, ここで超越次元に対するる帰納法をまわすと, の Krull 次元は となる. このとき, の素イデアルの鎖 について に対応する の素イデアルを とおくと, においては は 上超越的であるため, は 上有限型であることからこれは体ではない. 従って は の極大イデアルではないため, の Krull 次元は 以上である.