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メモ-1

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k を代数閉体, ak[x1,,xn] のイデアル, fI(V(a)) とする. このとき fa が成り立つ.

a(1) の場合のみ考える. このとき, ある ap なる素イデアル p について fp なるものが取れたならば, B=(k[x1,,xn]/p)f はゼロ環ではない. したがって極大イデアル m を任意に取ると, k-代数の射 AB/m が取れる. ここで B/mk 上有限型の体であるため, k と同型である. よってある kn の点 (a) が存在してイデアル (xa)AB/m の核となる. このとき p(xa) かつ f(xa) が成り立つため, 仮定に反する. よって fa が成り立つ.

k を体とする. Ak-有限生成代数であって整域であるようなものとする。このとき、A の商体を Q(A) とすると Krull.dim(A)=trans.degkQ(A) が成り立つ.

Ak[X1,,Xn]/P と表示する. このとき Pk[X1,,Xn] の素イデアルとなる.

k[X1,,Xn] の相異なる素イデアル PQ について k[X1,,Xn]/Pk[X1,,Xn]/Q なる射影が取れる. このとき, 変数の取り換えにより X1,,XdQ(k[X1,,Xn]/Q) の超越基底になるとしてよい. するとこれは Q(k[X1,,Xn]/P) の超越基底となるため, trans.degk(Q(k[X1,,Xn]/Q))trans.degk(Q(k[X1,,Xn]/P)) となる.

このとき, 超越次元が一致しているならば, S=k[X1,,Xd]{0} とおくと, SP とも Q とも非交である. このとき RS/PRS は体となるため, PQ の仮定に反する.

よってこのことから Krull.dim(A)trans.degkQ(A) が言える.

逆に Krull.dim(A)trans.degkQ(A) を示す。Ak[X1,,Xn]/P と表示する. このとき, X1Ak 上超越的であるとする. k[X1]{0}S とおくと, AS/PASk(X1) 上有限生成代数かつ整域となるため, ここで超越次元に対するる帰納法をまわすと, AS/PAS の Krull 次元は trans.degkQ(A)1 となる. このとき, AS/PAS の素イデアルの鎖 Q0Qd について Qd に対応する k[X1,,Xn] の素イデアルを Pd とおくと, k[X1,,Xn]/Pd においては X1k 上超越的であるため, k[X1,,Xn]/Pdk 上有限型であることからこれは体ではない. 従って Pdk[X1,,Xn] の極大イデアルではないため, A の Krull 次元は trans.degkQ(A) 以上である.

投稿日:2021422
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