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線形空間上での射影と冪等写像（おまけが本編）

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線形空間上での射影と冪等写像

線形空間上での射影

$V, S, T$ を線形空間とする. $V = S \oplus T$ と表されるとき, $V$ の $T$ に沿った $S$ への射影 $ρ$ とは, 次のような線形写像
$ρ : V \to V$
$v = s + t \mapsto s (v \in V, s \in S, t \in t)$
をいう.

冪等写像

線形空間 $V$ 上の線形写像 $f : V \to V$ が冪等であるとは, $f^{2} = f$ が成り立つことをいう.

実は、冪等写像であることと射影であることは同値になります。

$V, S, T$ を線形空間とする。 $V = S \oplus T$ と表されるとき, $V$ の $T$ に沿った $S$ への射影 $ρ$ は冪等である.逆に, 冪等写像 $f : V \to V$ に対して $V = I m f \oplus K e r f$ が成り立ち, $V$ の $K e r f$ に沿った $I m f$ への射影を与える.

射影 $ρ$ が冪等であることを示す.
任意の $v \in V$ に対して, $v = s + t, s \in S, t \in T$ とただ1通りに分解したとき,
$ρ^{2} (v) = ρ (ρ (s + t)) = ρ (s) = s = ρ (v)$
であるから, 射影 $ρ$ は冪等である.

冪等写像 $f : V \to V$ に対して $V = I m f \oplus K e r f$ が成り立ち, $V$ の $K e r f$ に沿った $I m f$ への射影を与えることを示す.
任意の $v \in V$ に対して, $v = f (v) + (v - f (v))$ が成り立ち, さらに $f (v - f (v)) = f (v) - f^{2} (v) = 0$ であるから, $f (v) \in I m f$ , $v - f (v) \in K e r f$ であり, $V = I m f + K e r f$ が成り立つ.
また, $y \in I m f \cap K e r f$ とすると, $y = f (x)$ とかけて, $y \in K e r f$ だから,
$0 = f (y) = f^{2} (x) = f (x) = y$
より, $I m f \cap K e r f = {0}$
以上から, $V = I m f \oplus K e r f$ が成り立つ.
上記の直和分解と $I m f$ の定義より, $f$ が $V$ の $K e r f$ に沿った $I m f$ への射影を与えることは明らか. □　

命題1を示すにあたっては、特に体上のベクトル空間であるという情報は用いていないため、命題1は一般に環上の加群においてもまったく同様に成り立つ。

（おまけ）有限次元のときは仮定を弱められるという話

上の命題は任意の線形空間について成り立つ話だったわけですが、 $V$ が有限次元のときに限定すると、冪等よりはもう少し弱い仮定でいけます。

$V$ を有限次元線形空間とし, $\dim V = n$ とする.線形写像 $f : V \to V$ が $\dim I m f^{2} = \dim I m f$ を満たすならば, $V = I m f \oplus K e r f$ が成り立つ.

$\dim K e r f = 0$ または $\dim K e r f = n$ ならば主張は明らか.
$\dim K e r f = k$ $(1 < k < n)$ とする. $K e r f$ の基底 $v_{1}, \dots, v_{k}$ を延長して, $V$ の基底 $v_{1}, \dots v_{k}, v_{k + 1}, \dots, v_{n}$ とすることができる.
このとき, $f (v_{k + 1}), \dots, f (v_{n})$ が $I m f$ の基底を与え, さらに $v_{1}, \dots v_{k}, f (v_{k + 1}), \dots, f (v_{n})$ が $V$ の基底を与えることを示そう.このことが示されれば, $V = I m f \oplus K e r f$ はただちにしたがう.
$f (v_{k + 1}), \dots, f (v_{n})$ が $I m f$ の基底となることを示す.
任意の $x \in I m f$ に対し, $x = f (v)$ とかける.
$v_{1}, \dots v_{k}, v_{k + 1}, \dots, v_{n}$ は $V$ の基底であるから,
$v = a_{1} v_{1} + \dots + a_{k} v_{k} + a_{k + 1} v_{k + 1} + \dots + a_{n} v_{n}$
とかけて, $v_{1}, \dots, v_{k} \in K e r f$ に注意すると,
$x = f (v) = f (a_{1} v_{1} + \dots + a_{k} v_{k} + a_{k + 1} v_{k + 1} + \dots + a_{n} v_{n}) = a_{k + 1} f (v_{k + 1}) + \dots + a_{n} f (v_{n})$
となり, $x$ は $f (v_{k + 1}), \dots, f (v_{n})$ の線形結合で表される.
$f (v_{k + 1}), \dots, f (v_{n})$ が線形独立であることを示す.
$a_{k + 1} f (v_{k + 1}) + \dots + a_{n} f (v_{n}) = 0$
とすると, $a_{k + 1} v_{k + 1} + \dots + a_{n} v_{n} \in K e r f$ であるから,
$a_{k + 1} v_{k + 1} + \dots + a_{n} v_{n} = a_{1} v_{1} + \dots + a_{k} v_{k}$
$- a_{1} v_{1} - \dots - a_{k} v_{k} + a_{k + 1} v_{k + 1} + \dots + a_{n} v_{n} = 0$
となり, $v_{1}, \dots v_{k}, v_{k + 1}, \dots, v_{n}$ の一次独立性から $a_{k + 1} = \dots = a_{n} = 0$ となる.
次に, $v_{1}, \dots v_{k}, f (v_{k + 1}), \dots, f (v_{n})$ が $V$ の基底となることを示す.
$\dim V = n$ であるから, 一次独立性を示せばよい.
$a_{1} v_{1} + \dots + a_{k} v_{k} + a_{k + 1} f (v_{k + 1}) + \dots + a_{n} f (v_{n}) = 0$
であるとする.両辺に $f$ を作用させると, $v_{1}, \dots, v_{k} \in K e r f$ に注意して,
$a_{k + 1} f^{2} (v_{k + 1}) + \dots + a_{n} f^{2} (v_{n}) = 0$
である.
ここで, $\dim I m f^{2} = \dim I m f < \infty$ であるから, $f$ の $I m f$ への制限 $f : I m f \to I m f^{2}$ は同型写像となり,特に $I m f$ の基底 $f (v_{k + 1}), \dots, f (v_{n})$ を $I m f^{2}$ の基底 $f^{2} (v_{k + 1}), \dots, f^{2} (v_{n})$ に移す.
したがって, $f^{2} (v_{k + 1}), \dots, f^{2} (v_{n})$ の線形独立性から, $a_{k + 1} = \dots = a_{n} = 0$ となる.
すると,
$a_{1} v_{1} + \dots + a_{k} v_{k} + a_{k + 1} f (v_{k + 1}) + \dots + a_{n} f (v_{n}) = 0$
は
$a_{1} v_{1} + \dots + a_{k} v_{k} = 0$
となるので, $v_{1}, \dots, v_{k}$ の線形独立性から, $a_{1} = \dots = a_{k} = 0$ となる.
以上より, 示された. □

命題2において, $V$ が有限次元であるという仮定を外すことはできない.
例えば, 実数列全体のなすベクトル空間 $R^{N}$ において,線形写像 $f : R^{N} \to R^{N}$ を,
$f ((a_{n})) = (b_{n})$ ただし, $b_{n} = a_{n + 1}$
で定める.すると, $I m f^{2} = I m f = R^{N}$ なので,
$\dim I m f^{2} = \dim I m f$
であるが,一方,
$K e r f$ $= {(a_{n}) | \forall n \geq 2, a_{n} = 0}$
であるので, $I m f \cap K e r f = K e r f ⊅ {(0)}$