文献あり

[Test投稿1/2] modular invariantまで

(練習。少々雑です。)
まず, 次の二つの記号を定義する.

複素上半平面を $H = {x + i y ∣ y > 0}$ とおく.
$Γ := S L_{2} (Z) = {[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] ∣ a d - b c = 1, a, b, c, d \in Z}$

以後 $H$ の点の記号として $τ$ を, $Γ$ の元の記号として $γ$ をしばしば用い, 断りなければ $γ = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$ であるものとする.
$H$ には $Γ$ が一次分数変換により作用する: $γ = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$ , $τ \in H$ のとき, $γ (τ) := \frac{a τ + b}{c τ + d}$ .

$k$ を4以上の偶数とし, $G_{k}$ を次で定義する.
$G_{k} (τ) = \sum_{(c, d) \in Z^{2} - {(0, 0)}} \frac{1}{(c τ + d)^{k}}$
これをウェイト $k$ のアイゼンシュタイン級数という.

上の級数は広義一様絶対収束することが知られており, したがって $H$ 上の正則函数を定める.
一般に関数 $f : H \to C$ がウェイト $k \in Z$ のモジュラー形式であるとは, 次の3条件を満たすことをいう.

$f$ は $H$ 上正則.
$f (γ (τ)) = (c τ + d)^{k} f (τ)$
$Im τ \to \infty$ ならば $f (τ)$ は有界.

$G_{k}$ はウェイト $k$ のモジュラー形式であることが知られている. ウェイト $k$ のモジュラー形式全体の集合を $M_{k} (Γ)$ と書き, $M (Γ) = \oplus_{k \in Z} M_{k} (Γ)$ は自然に次数付 $C$ 代数である.

$Γ$ は実は $[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}], [\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$ の2元で生成できるため, モジュラー性の2.はこの2つの元に対して確認すれば十分である. 特に一つ目の生成元に対しては, 確認するべきことは単に $f (τ + 1) = f (τ)$ という $Z$ 周期性である. $G_{k}$ に関して2.を示すとき, 総和の取り方を変える必要があるので, 総和の変形に絶対収束性を必要とするであろう.

$g_{2} (τ) = 60 G_{4} (τ), g_{4} (τ) = 140 G_{6} (τ)$ とおき, $Δ (τ) = g_{2} (τ)^{3} - 27 g_{3} (τ)^{2}$ とおく. $g_{2}^{3}, g_{3}^{2} \in M_{12} (Γ)$ なので $Δ \in M_{12} (Γ)$ である. $Δ$ は $H$ 上では0にならないことが知られており, このとき次が定義される.
$j (τ) = 1728 \frac{g_{2} (τ)^{3}}{Δ (τ)}$
これをモジュラー不変量という. $j$ はウェイト12のものをウェイト12で割っているので, このような名前がついている. (ただしモジュラー性の条件の3.は満たされなくなる)