「ロピタルの定理」と言ってるソレ

この記事では，よく人々が誤解してしまう【ロピタルの定理】について，定理が適用できない例を紹介していくことで，ロピタルの定理の正しい用法を守りましょう！ という 注意喚起 を目的とします。

動機（無視しても良いです）

最近，数学に関するコンテンツが増えてきて飽きない生活を送れていますね。YouTubeにも様々な問題解説があったり，オンライン上で閲覧できる教科書があったり，MathlogやMathpediaなどの数学専用コンテンツが出来たり。。。
それらのコンテンツは気軽に全世界へ発信できるため，時にはミスであったり事実と異なることを説明してしまったり。それらを指摘して修正する（させる）ことでコンテンツの質は高まっていくものと考えます。

解説する側も間違えてしまうことで悪名高い有名な【ロピタルの定理】という定理があります。YouTube上で“ロピタルの定理”と検索したところ，ここ1年間(2020/04/25～2021/04/24)で27本の動画がヒットしました。特にその中で，ロピタルの定理の主張を述べて問題に適用したり証明している動画は23本ありましたが，その23本のうち明確に間違っていると判断したものは9本ありました。

YouTube上のコンテンツでは， ヨビノリさんのロピタルの定理 が最も丁寧に，かつ分かりやすく教えてくれていますので，正しい【ロピタルの定理】を知りたい！ という人はそちらを閲覧してください。その他参考になるサイトは最後尾にとどめておきます。

よくもまあ数学系のコンテンツで正しくないことを世に出す勇気があるなぁ。。。なんなら，「大手予備校講師」を名乗ってる人も適当だなあなどと思ってしまいました。
従って，彼らの主張するロピタルの定理のどこが間違っているのかを指摘してみよう！ と思い立ちましたので，文章に起こすこととしました。

ロピタルの定理ってなんだっけ？

この記事では，次の形のロピタルの定理を扱います。（$x\to \mathrm{\infty }$や$f(x)\to \mathrm{\infty }$のときは考えません。考えなくてもこの記事の目的は達成されるからです。）

要するに，次の4つの条件

① （大前提）$a$は実数，$I$は$a$を含む開区間，$f$と$g$は$I\setminus \left\{a\right\}$上で微分可能な関数

② ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)=\underset{x\to a}{lim}g(x)=0}$

③ 任意の$x\in I\setminus \left\{a\right\}$に対して$g^{\prime }(x)\ne 0$

④ ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}}$が実数内に存在

が仮定としてあり，結論${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}=\underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}}$を得るのがロピタルの定理です。後から説明するように，②③④はどれが欠けてもいけません。

なお，関数が$I\setminus \left\{a\right\}$上で定義されることに対して違和感を持つ場合は，次の形がロピタルの定理であると思ってもらっても，以降の説明には支障がありません。

こちらの形では，次の4つの仮定が要求されています。

${\text{①}}^{\prime }$ （大前提）$a$は実数，$I$は$a$を含む開区間，$f$と$g$は$I$上で微分可能な関数

${\text{②}}^{\prime }$ ${\displaystyle f(a)=g(a)=0}$

${\text{③}}^{\prime }$ 任意の$x\in I\setminus \left\{a\right\}$に対して$g^{\prime }(x)\ne 0$

${\text{④}}^{\prime }$ ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}}$が実数内に存在

どちらの形であっても特に気を付けたいのは，③の条件です。これをしっかりと説明できていないため，低俗な解説，低俗な動画ばかりになってしまっています。（どうしてCauchyの平均値の定理を証明しているときは$g^{\prime }(x)\ne 0$に敏感になっていたのに，ロピタルの定理になると忘れるのか，甚だ不思議です。）

条件②③④はすべて必要なの？

さすがに①の条件は大前提ですから，他の②③④の条件について，どれか1つでも欠けてはいけないことを説明しましょう。特に，

• ①②③は満たされるが ④ が満たされない例
• ①③④は満たされるが ② が満たされない例
• ①②④は満たされるが ③ が満たされない例

を提示していくことで納得してもらいます。

①②③は満たされるが ④ が満たされない例

$a=0$とし，$I=(-1,1)$とします。関数$f(x)$と$g(x)$を，$$f(x)=\{\begin{array}{rlr}& x^2\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}& \text{if}x\ne 0\\ & 0& \text{if}x=0\end{array},g(x)=x$$
と定めますと，$f(x)$と$g(x)$は$I$上で連続な関数です。

特に$$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{rlr}& 2x\sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)-\cos \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)& \text{if}x\ne 0\\ & 0& \text{if}x=0\end{array},g^{\prime }(x)=1$$
と計算されますので，$f(x)$と$g(x)$は$I$上で微分可能であることが分かります（これで①を満たすことが確認できました。）

②についても，$f(x)$と$g(x)$は$I$上で連続であることから明らかです。

さらに$g^{\prime }(x)=0$となる$x$は$I\setminus \left\{0\right\}$上には存在しませんので，③も満たされています。

④について考えていきましょう。
$$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}=\underset{x\to 0}{lim}\{2x\sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)-\cos \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)\}$$
ですが，$\underset{x\to 0}{lim}2x\sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)=0$に対して$\underset{x\to 0}{lim}\cos \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$は振動しますので，結局$$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}$$
は存在しません。これで④が満たされていないことが分かりました。またこのとき，
$$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}=\underset{x\to 0}{lim}x\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}=0$$
ですので，$$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}\mathbf{\ne }\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}$$
であることが確認できました。

①③④は満たされるが ② が満たされない例

$a=0$とし，$I=(-1,1)$とします。関数$f(x)$と$g(x)$を，
$$f(x)=1+2x,g(x)=1+x$$
と定めますと，これらが①を満たすこと，②が満たされていないことは明らかです。さらに，
$$f^{\prime }(x)=2,g^{\prime }(x)=1$$
と計算できますので，③を満たすのも明らかであり，$$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}=2\text{（収束）}$$
よって④も満たされています。ですが②は満たされていないために，$$1=\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}\mathbf{\ne }\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}=2$$
であることが確認できました。

①②④は満たされるが ③ が満たされない例

$a=0$とし，任意に正の実数$\epsilon$をとって$I=(-\epsilon ,\epsilon )$とおきます。また関数$f(x)$と$g(x)$を，
$$f(x)=\{\begin{array}{rlr}& x^3(4+2x\cos {\displaystyle \frac{1}{x^2}}+3x^2\sin {\displaystyle \frac{2}{x^2}}+4x^3\sin {\displaystyle \frac{1}{x^2}})& \text{if}x\ne 0\\ & 0& \text{if}x=0\end{array}$$
$$g(x)=\{\begin{array}{rlr}& x^3(4+x\cos {\displaystyle \frac{1}{x^2}}+3x^2\sin {\displaystyle \frac{2}{x^2}}+2x^3\sin {\displaystyle \frac{1}{x^2}})& \text{if}x\ne 0\\ & 0& \text{if}x=0\end{array}$$
と定めます。少し考えれば，$f(x)$と$g(x)$は共に$x=0$で連続であることが分かります。また$f(x)$と$g(x)$は$I$上で微分可能で，特に
$$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{rlr}& 2x\sin {\displaystyle \frac{1}{x^2}}(2+12x\sin {\displaystyle \frac{1}{x^2}}+15x^3\cos {\displaystyle \frac{1}{x^2}}+12x^4)& \text{if}x\ne 0\\ & 0& \text{if}x=0\end{array}$$
$$g^{\prime }(x)=\{\begin{array}{rlr}& 2x\sin {\displaystyle \frac{1}{x^2}}(1+12x\sin {\displaystyle \frac{1}{x^2}}+15x^3\cos {\displaystyle \frac{1}{x^2}}+6x^4)& \text{if}x\ne 0\\ & 0& \text{if}x=0\end{array}$$
と計算されます。（計算の詳細は省略してしまいましたが，時間のある方は考えてみてください。）上記計算から，この$f(x)$と$g(x)$は①を満たしていることが分かり，$f(x)$と$g(x)$の連続性から②を満たすことも分かりました。また④については，$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}& =\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{2+12x\sin {\displaystyle \frac{1}{x^2}}+15x^3\cos {\displaystyle \frac{1}{x^2}}+12x^4}{1+12x\sin {\displaystyle \frac{1}{x^2}}+15x^3\cos {\displaystyle \frac{1}{x^2}}+6x^4}}\\ & ={\displaystyle \frac{2+0+0+0}{1+0+0+0}}=2\text{（収束）}\end{array}$$
と計算できますので，④が満たされていることも確認できました。

しかし，
$$\begin{array}{r}\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}={\displaystyle \frac{4+0+0+0}{4+0+0+0}}=1\end{array}$$
ですので，$$1=\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}\mathbf{\ne }\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}=2$$
と，ロピタルの定理を否定するような結論が得られました。これは③の条件が満たされていないためです。

以上より，①②③④のいずれについても述べる必要があることが分かってもらえたでしょうか？

まとめ

ロピタルの定理の発動条件は，しっかり確認しようね！！

ちなみに[三宅 入門微分積分]のような大学1年生の標準的な教科書でさえロピタルの定理を間違っていることを確認しました。③の条件を考えていませんでした。なんでCauchyの平均値の定理の時には$g^{\prime }(x)\ne 0$について言及しているのに，ロピタルの定理で（書き）間違えるかなあ。

参考文献の『きみは「ロピタルの定理」を本当に知っているか』も③を考えていません。筆者の長谷川先生の主張には同意しますが。

追記

参考文献の『きみは「ロピタルの定理」を本当に知っているか』の閲覧が，2022/03/11時点で出来ないことを確認しております。2021/04/24時点のアーカイブをとっていましたので，参考にしたい方は次のリンクから飛んでください。

https://web.archive.org/web/20210424201231/https://saitei.net/2016/07/22/post-179/