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積分解説06

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

2020/10/10に積分コンテストで出題した問題です。
https://twitter.com/sounansya_29/status/1314883373463031808?s=21

$$ \displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\arctan{\frac{\tan{x}}{\cos{x}}}}{\tan{x}}dx $$

[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\arctan{\frac{\tan{x}}{\cos{x}}}}{\tan{x}}dx\\ &=&\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\arctan{\frac{\sin{x}}{1-\sin^2{x}}}}{\sin{x}}\cos{x}dx\\ &=&\int_0^1 \frac{\arctan{\frac{t}{1-t^2}}}{t}dt\hspace{15pt}(t=\sin{x})\\ &=&\int_0^1 \frac{\arctan{\frac{t+t^3}{1-t^4}}}{t}dt\\ &=&\int_0^1 \frac{\arctan{t}+\arctan{t^3}}{t}dt\\ &=&\int_0^1 \frac{\arctan{t}}{t} dt+\frac{1}{3}\int_0^1 \frac{\arctan{u}}{\sqrt[3]{u}}u^{-\frac{2}{3}}du\hspace{15pt}(t=\sqrt[3]{u})\\ &=&\frac{4}{3}\int_0^1 \frac{\arctan{t}}{t}dt\\ &=&\frac{4}{3}\int_0^1 \frac{1}{t}\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1}t^{2k+1}dt\\ &=&\frac{4}{3} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1} \int_0^1 t^{2k}dt\\ &=&\frac{4}{3} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\\ &=&\frac{4}{3}G \end{eqnarray*} $
よって、この問題の解答は$\displaystyle \frac{4}{3}G$となります。

投稿日:2020117

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投稿者

神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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