有限体上の楕円曲線に関する疑問

序

有限体上の楕円曲線について、考えた疑問を公開したくなり、筆を取りました。

記号の準備

$F_q$を位数$q$の有限体とします。
$E$を標数0の体とします。
このとき、$F_q$の要素を基底とするベクトル空間を考えることで、
$F_q$から$F_q$への関数$f(x)$はすべては$E$係数$q$次正方行列で表現することができます。
関数の合成が、行列の積となります。
この正方行列を$A_f$と書くことにします。

$F_q$上の楕円曲線の$F_q$同型類

以下$F_q$の標数を$5$以上とすることにより、
アフィン平面上での楕円曲線を
重根を持たない$F_q$係数$3$次式$G(x)=x^3+ax+b$で表せるようにします。

$T$を$F_q$上の楕円曲線の同型類とします、このとき、$T$に含まれている、
楕円曲線に対応する、$3$次式$G(x)$を関数とみたときの行列表現
$A_G$の集合$T_A$には

$j$不変量
Hasse不変量
フロベニウスの第$1$エタールコホモロジーでのトレースをヤコブスタール和で計算したもの。
$A_G$の係数は$0$以上$q$以下の自然数で、トレースは$q$
3次式がもつ特徴
といった束縛があります。

楕円曲線の Hasse 不変量について

疑問

$F_q$楕円曲線の同型類$T$が生成する、正方行列の集合$T_A$は、代数的集合か？
代数的組合せ論上の性質はなにか満たすか、
生成するアフィン空間は何次元か
二点間の最大距離はどのくらいか

疑問2

浅学で知らないのですが、
有限体の楕円曲線の同型類すべてがなす集合（モジュライ空間）は、なにか構造を持つのでしょうか？
$j$不変量は代数的閉体上での不変量と聞きましたためなにか違うような？