円の内接n角形の平均面積

$n$つの弦の長さの平均値

問題

円$x^2+y^2=1$上に$n\ge 3$つの点$\{P_0=(\cos {\theta }_0,\sin {\theta }_0)=(1,0),P_1=(\cos {\theta }_1,\sin {\theta }_1),\cdots ,P_{n-1}=(\cos {\theta }_{n-1},\sin {\theta }_{n-1})\}$
があるとする($0={\theta }_0<{\theta }_1<{\theta }_2<\cdots <{\theta }_{n-1}$)。このとき$n$角形$P_0{P}_1\cdots P_n$の面積の平均値を求める。

立式

$1\le i\le n$に対して
$$u_i={\theta }_i-{\theta }_{i-1}.$$
と置く。ただし${\theta }_n=2\pi$とし、$u_n=2\pi -{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}{u}_i}$は$u_i(1\le i\le n-1)$の関数とする。
すると平均値は
$$\frac{{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-2})}\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}\sin u_{i}d{u}_{n-1}d{u}_{n-2}\cdots d{u}_1}}{{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-2})}d{u}_{n-1}d{u}_{n-2}\cdots d{u}_1}}.\cdots (1)$$

となる。覚えていたら追記する。

計算

　まず分母から計算をする。
$$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-2})}d{u}_{n-1}\cdots d{u}_1\\ & =& {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-3})}(2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-2}))d{u}_{n-2}\cdots d{u}_1\\ & =& {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-4})}\frac{(2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-3}){)}^2}{2}d{u}_{n-3}\cdots d{u}_1\\ & =& \cdots \\ & =& {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-1-(k+1)})}\frac{(2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-1-k}){)}^k}{k!}d{u}_{n-1-k}\cdots d{u}_1\\ & =& \cdots \\ & =& \frac{(2\pi {)}^{n-1}}{(n-1)!}.\cdots (2)\end{array}$$
　次に分子を計算する。${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-2})}\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}\sin u_{i}d{u}_{n-1}d{u}_{n-2}\cdots d{u}_1}$は総和の$i$に対して場合分けをする。

$i=n$のとき

$$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-2})}\sin u_{n}d{u}_{n-1}\cdots d{u}_1\\ & =& {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-2})}\sin (2\pi -(u_1+\cdots u_{n-1}))d{u}_{n-1}\cdots d{u}_1\\ & =& {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-3})}\{\sin (2\pi -(u_1+\cdots u_{n-2})-\frac{\pi }{2})+\sin \frac{\pi }{2}\}d{u}_{n-2}\cdots d{u}_1\\ & =& {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-3})}\sin (2\pi -(u_1+\cdots u_{n-2})-\frac{\pi }{2})d{u}_{n-2}\cdots d{u}_1\\ & & +\sin \frac{\pi }{2}{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-3})}d{u}_{n-2}\cdots d{u}_1\end{array}$$
ここで${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-3})}d{u}_{n-2}\cdots d{u}_1}$は式$(2)$と全く同じ計算をすることで得られる。

$$\begin{array}{rcl}& =& {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-3})}\sin (2\pi -(u_1+\cdots u_{n-2})-\frac{\pi }{2})d{u}_{n-2}\cdots d{u}_1\\ & & +\sin \frac{\pi }{2}{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-3})}d{u}_{n-2}\cdots d{u}_1\\ & =& {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-3})}\sin (2\pi -(u_1+\cdots u_{n-2})-\frac{\pi }{2})d{u}_{n-2}\cdots d{u}_1\\ & & +\frac{(2\pi {)}^{n-2}}{(n-2)!}\sin \frac{\pi }{2}\\ & =& {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-4})}\sin (2\pi -(u_1+\cdots u_{n-3})-\frac{2\pi }{2})d{u}_{n-3}\cdots d{u}_1\\ & & +\frac{(2\pi {)}^{n-2}}{(n-2)!}\sin \frac{\pi }{2}+\sin \frac{2\pi }{2}{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-4})}d{u}_{n-3}\cdots d{u}_1\\ & =& {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-4})}\sin (2\pi -(u_1+\cdots u_{n-3})-\frac{2\pi }{2})d{u}_{n-3}\cdots d{u}_1\\ & & +\frac{(2\pi {)}^{n-2}}{(n-2)!}\sin \frac{\pi }{2}+\frac{(2\pi {)}^{n-3}}{(n-3)!}\sin \frac{2\pi }{2}\\ & =& \cdots \\ & =& {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-1-(k+1)})}\sin (2\pi -(u_1+\cdots u_{n-1-k})-\frac{k\pi }{2})d{u}_{n-1-k}\cdots d{u}_1\\ & & +\frac{(2\pi {)}^{n-2}}{(n-2)!}\sin \frac{\pi }{2}+\cdots +\frac{(2\pi {)}^{n-1-k}}{(n-1-k)!}\sin \frac{k\pi }{2}\\ & =& \cdots \\ & =& {\int }_0^{2\pi }\sin (2\pi -u_1-\frac{(n-2)\pi }{2})d{u}_1+\sum _{k=1}^{n-2}\frac{(2\pi {)}^{n-1-k}}{(n-1-k)!}\sin \frac{k\pi }{2}\\ & =& \sum _{k=1}^{n-2}\frac{(2\pi {)}^k}{k!}\sin \frac{(n-1-k)\pi }{2}.\cdots (3)\end{array}$$
ただし最後の行においては総和の$k$の向きを変えた。

$1\le i\le n-1$の場合

$$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-2})}\sin u_{i}d{u}_{n-1}d{u}_{n-2}\cdots d{u}_1\\ & =& {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{i-1})}I\sin u_{i}d{u}_{i}d{u}_{i-1}\cdots d{u}_1\end{array}$$
ただし
$$I={\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_i)}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-2})}d{u}_{n-1}\cdots d{u}_{i+1}$$
と置いた。また、$i=1$のときには$2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-2})$を$2\pi$とする。この$I$は式$(1)$とほぼ同じように計算できて、
$$I=\frac{(2\pi -(u_1+\cdots +u_i){)}^{n-i-1}}{(n-i-1)!}.$$
となる。よって、これを代入して部分積分をしていけばよい。一つ目の積分は
$$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{i-1})}\frac{(2\pi -(u_1+\cdots +u_i){)}^{n-i-1}}{(n-i-1)!}\sin u_{i}d{u}_i\\ & =& {[\frac{(2\pi -(u_1+\cdots +u_i){)}^{n-i-1}}{(n-i-1)!}\sin (u_i-\frac{\pi }{2})]}_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{i-1})}\\ & & +{\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{i-1})}\frac{(2\pi -(u_1+\cdots +u_i){)}^{n-i-2}}{(n-i-2)!}\sin (u_i-\frac{\pi }{2})d{u}_i\\ & =& \frac{(2\pi -(u_1+\cdots +u_{i-1}){)}^{n-i-1}}{(n-i-1)!}\sin \frac{\pi }{2}\\ & & +{[\frac{(2\pi -(u_1+\cdots +u_i){)}^{n-i-2}}{(n-i-2)!}\sin (u_i-\frac{2\pi }{2})]}_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{i-1})}\\ & & +{\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{i-1})}\frac{(2\pi -(u_1+\cdots +u_i){)}^{n-i-3}}{(n-i-3)!}\sin (u_i-\frac{2\pi }{2})d{u}_i\\ & =& \cdots \\ & =& \frac{(2\pi -(u_1+\cdots +u_{i-1}){)}^{n-i-1}}{(n-i-1)!}\sin \frac{\pi }{2}\\ & & +\cdots \\ & & +\frac{(2\pi -(u_1+\cdots +u_{i-1}){)}^{n-i-k}}{(n-i-k)!}\sin \frac{k\pi }{2}\\ & & +{\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{i-1})}\frac{(2\pi -(u_1+\cdots +u_i){)}^{n-i-(k+1)}}{(n-i-(k+1))!}\sin (u_i-\frac{k\pi }{2})d{u}_i\\ & =& \sum _{k=1}^{n-i-1}\frac{(2\pi -(u_1+\cdots +u_{i-1}){)}^{n-i-k}}{(n-i-k)!}\sin \frac{k\pi }{2}\\ & & +{\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{i-1})}\sin (u_i-\frac{(n-i-1)\pi }{2})d{u}_i\\ & =& \sum _{k=1}^{n-i}\frac{(2\pi -(u_1+\cdots +u_{i-1}){)}^{n-i-k}}{(n-i-k)!}\sin \frac{k\pi }{2}\\ & & +\sin (2\pi -(u_1+\cdots +u_{i-1})-\frac{(n-i)\pi }{2}).\end{array}$$
したがって、元の積分は
$$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-2})}\sin u_{i}d{u}_{n-1}d{u}_{n-2}\cdots d{u}_1\\ & =& {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{i-2})}\sum _{k=1}^{n-i}\frac{(2\pi -(u_1+\cdots +u_{i-1}){)}^{n-i-k}}{(n-i-k)!}\sin \frac{k\pi }{2}d{u}_{i-1}d{u}_{i-2}\cdots d{u}_1\\ & & +{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{i-2})}\sin (2\pi -(u_1+\cdots +u_{i-1})-\frac{(n-i)\pi }{2})d{u}_{i-1}d{u}_{i-2}\cdots d{u}_1.\end{array}$$
となる。ただし$i=1$では積分がないので、
$$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{n-2})}\sin u_{1}d{u}_{n-1}d{u}_{n-2}\cdots d{u}_1\\ & =& \sum _{k=1}^{n-1}\frac{(2\pi {)}^{n-1-k}}{(n-1-k)!}\sin \frac{k\pi }{2}+\sin (2\pi -\frac{(n-1)\pi }{2})\\ & =& \sum _{k=1}^{n-2}\frac{(2\pi {)}^k}{k!}\sin \frac{(n-1-k)\pi }{2}.\cdots (4)\end{array}$$
となる。ここで$i=1$の最後の変形は第二項を第一項の$k=n-1$と打ち消し、そのあと$k$の順を逆にした。
　$i\ne 1$の場合の積分を続ける。$(2)$式とほぼ同様の計算により、
$$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{i-2})}\sum _{k=1}^{n-i}\frac{(2\pi -(u_1+\cdots +u_{i-1}){)}^{n-i-k}}{(n-i-k)!}\sin \frac{k\pi }{2}d{u}_{i-1}d{u}_{i-2}\cdots d{u}_1\\ & =& \sum _{k=1}^{n-i}\sin \frac{k\pi }{2}{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{i-2})}\frac{(2\pi -(u_1+\cdots +u_{i-1}){)}^{n-i-k}}{(n-i-k)!}d{u}_{i-1}d{u}_{i-2}\cdots d{u}_1\\ & =& \sum _{k=1}^{n-i}\frac{(2\pi {)}^{n-1-k}}{(n-1-k)!}\sin \frac{k\pi }{2}\\ & =& \sum _{k=i-1}^{n-2}\frac{(2\pi {)}^k}{k!}\sin \frac{(n-1-k)\pi }{2}.\cdots (5)\end{array}$$
と計算される。また、(3)の計算とほぼ同じようにして($\sin$の位相に定数加えるだけだが、定積分で位相がマイナスされていることに注意)
$$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi -u_1}\cdots {\int }_0^{2\pi -(u_1+\cdots +u_{i-2})}\sin (2\pi -(u_1+\cdots +u_{i-1})-\frac{(n-i)\pi }{2})d{u}_{i-1}d{u}_{i-2}\cdots d{u}_1\\ & =& \sum _{k=1}^{i-2}\frac{(2\pi {)}^k}{k!}\sin (\frac{\pi }{2}(i-k-1)+\frac{\pi }{2}(n-i))\\ & =& \sum _{k=1}^{i-2}\frac{(2\pi {)}^k}{k!}\sin \frac{(n-1-k)\pi }{2}.\cdots (6)\end{array}$$
と計算される。ただし$i=2$ならば$0$とする。

分子の値まとめ

　$(3),(4),(5),(6)$を用いると、分子の値は以下のようになる。
$$\frac{1}{2}[(3)+\sum _{i=2}^{n-1}\{(4)+(5)\}+(6)].$$
具体的値を求める。その際${\displaystyle z(k):=\frac{(2\pi {)}^k}{k!}\sin \frac{(n-1-k)\pi }{2}}$とする。また、総和の範囲が$i=2$の時に空となるが、その時の和は$0$と定義する(このほうがきれいだからという理由)。具体的値は次のように求まる。
$$\begin{array}{rcl}& & \frac{1}{2}[\sum _{k=1}^{n-2}z(k)+\sum _{i=2}^{n-1}\{\sum _{k=i-1}^{n-2}z(k)+\sum _{k=1}^{i-2}z(k)\}+\sum _{k=1}^{n-2}z(k)]\\ & =& \frac{1}{2}\{2\sum _{k=1}^{n-2}z(k)+\sum _{i=2}^{n-1}\sum _{k=1}^{n-2}z(k)\}\\ & =& \frac{n}{2}\sum _{k=1}^{n-2}z(k).\end{array}$$
あまりにも簡潔すぎて、今までの計算の冗長性を疑ってしまう(実際漸化式を立てたほうが楽だったと今更気づいた)。

答え

　$(1)$にすべて代入すると
$$\begin{array}{rcl}& & \frac{{\displaystyle \frac{n}{2}\sum _{k=1}^{n-2}\frac{(2\pi {)}^k}{k!}\sin \frac{(n-1-k)\pi }{2}}}{(2\pi {)}^{n-1}/(n-1)!}\\ & =& \frac{\pi n!}{(2\pi {)}^n}\sum _{k=1}^{n-2}\frac{(2\pi {)}^k}{k!}\sin \frac{(n-1-k)\pi }{2}.\end{array}$$
となる。覚えていたらもうちょっと追記します。