円の内接n角形の平均面積

$n$つの弦の長さの平均値

問題

円$x^2+y^2=1$上に$n \geq 3$つの点$ \{P_0=(\cos{\theta_0},\sin{\theta_0}) = (1,0), \, P_1=(\cos{\theta_1},\sin{\theta_1}), \, \cdots , \, P_{n-1}=(\cos{\theta_{n-1}},\sin{\theta_{n-1}})\}$
があるとする($0 = \theta_0 < \theta_1 < \theta_2 < \cdots < \theta_{n-1}$)。このとき$n$角形$P_0P_1 \cdots P_n$の面積の平均値を求める。

立式

$1 \leq i \leq n$に対して
$$ u_i = \theta_{i} - \theta_{i-1}. $$
と置く。ただし$\theta_n = 2 \pi$とし、$u_n = 2\pi - \displaystyle \sum_{i=1}^{n-1} u_i$は$u_i \, (1 \leq i \leq n-1)$の関数とする。
すると平均値は
$$ \frac{\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-2})} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} \sin{u_i} d u_{n-1} d u_{n-2} \cdots d u_{1} } {\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-2})} d u_{n-1} d u_{n-2} \cdots d u_{1} }. \, \cdots (1) $$

となる。覚えていたら追記する。

計算

　まず分母から計算をする。
$$ \begin{eqnarray} && \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-2})} d u_{n-1} \cdots d u_1 \\ &=& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-3})} (2 \pi - (u_1 + \cdots +u_{n-2})) d u_{n-2} \cdots d u_1 \\ &=& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-4})} \frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots +u_{n-3}))^2}{2} d u_{n-3} \cdots d u_1 \\ &=& \cdots \\ &=& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-1-(k+1)})} \frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots +u_{n-1-k}))^k}{k!} d u_{n-1-k} \cdots d u_{1} \\ &=& \cdots \\ &=& \frac{(2 \pi)^{n-1}}{(n-1)!} . \, \cdots (2) \end{eqnarray} $$
　次に分子を計算する。$\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-2})} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} \sin{u_i} d u_{n-1} d u_{n-2} \cdots d u_{1}$は総和の$i$に対して場合分けをする。

$i = n$のとき

$$ \begin{eqnarray} && \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-2})} \sin{u_n} d u_{n-1} \cdots d u_{1} \\ &=& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-2})} \sin{(2 \pi - (u_1 + \cdots u_{n-1}))} d u_{n-1} \cdots d u_{1} \\ &=& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-3})} \left\{ \sin{ \left( 2 \pi - (u_1 + \cdots u_{n-2})-\frac{\pi}{2} \right) } + \sin{\frac{\pi}{2}} \right\} d u_{n-2} \cdots d u_{1} \\ &=& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-3})} \sin{ \left( 2 \pi - (u_1 + \cdots u_{n-2})-\frac{\pi}{2} \right) } d u_{n-2} \cdots d u_{1} \\ && + \sin{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-3})}d u_{n-2} \cdots d u_{1} \end{eqnarray} $$
ここで$\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-3})}d u_{n-2} \cdots d u_{1}$は式$(2)$と全く同じ計算をすることで得られる。

$$ \begin{eqnarray} &=& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-3})} \sin{ \left( 2 \pi - (u_1 + \cdots u_{n-2})-\frac{\pi}{2} \right) } d u_{n-2} \cdots d u_{1} \\ && + \sin{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-3})}d u_{n-2} \cdots d u_{1} \\ &=& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-3})} \sin{ \left( 2 \pi - (u_1 + \cdots u_{n-2})-\frac{\pi}{2} \right) } d u_{n-2} \cdots d u_{1} \\ && +\frac{(2 \pi)^{n-2}}{(n-2)!} \sin{\frac{\pi}{2}} \\ &=& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-4})} \sin{ \left( 2 \pi - (u_1 + \cdots u_{n-3})-\frac{2\pi}{2} \right) } d u_{n-3} \cdots d u_{1} \\ && +\frac{(2 \pi)^{n-2}}{(n-2)!} \sin{\frac{\pi}{2}} + \sin{\frac{2\pi}{2}} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-4})}d u_{n-3} \cdots d u_{1} \\ &=& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-4})} \sin{ \left( 2 \pi - (u_1 + \cdots u_{n-3})-\frac{2\pi}{2} \right) } d u_{n-3} \cdots d u_{1} \\ && +\frac{(2 \pi)^{n-2}}{(n-2)!} \sin{\frac{\pi}{2}} + \frac{(2 \pi)^{n-3}}{(n-3)!} \sin{\frac{2\pi}{2}} \\ &=& \cdots \\ &=& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-1-(k+1)})} \sin{ \left( 2 \pi - (u_1 + \cdots u_{n-1-k})-\frac{k\pi}{2} \right) } d u_{n-1-k} \cdots d u_{1} \\ && +\frac{(2 \pi)^{n-2}}{(n-2)!} \sin{\frac{\pi}{2}} + \cdots + \frac{(2 \pi)^{n-1-k}}{(n-1-k)!} \sin{\frac{k\pi}{2}} \\ &=& \cdots \\ &=& \int_{0}^{2 \pi} \sin{ \left( 2 \pi - u_1-\frac{(n-2)\pi}{2} \right) } d u_{1} + \sum_{k=1}^{n-2} \frac{(2 \pi)^{n-1-k}}{(n-1-k)!} \sin{\frac{k \pi}{2}} \\ &=& \sum_{k=1}^{n-2} \frac{(2 \pi)^{k}}{k!} \sin{\frac{(n-1-k) \pi}{2}}. \, \cdots (3) \end{eqnarray} $$
ただし最後の行においては総和の$k$の向きを変えた。

$1 \leq i \leq n-1$の場合

$$ \begin{eqnarray} && \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-2})} \sin{u_i} d u_{n-1} d u_{n-2} \cdots d u_{1} \\ &=& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i-1})} I \sin{u_i} d u_{i} d u_{i-1} \cdots d u_{1} \end{eqnarray} $$
ただし
$$ I= \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i})} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-2})} d u_{n-1} \cdots d u_{i+1} $$
と置いた。また、$i=1$のときには$2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-2})$を$2 \pi$とする。この$I$は式$(1)$とほぼ同じように計算できて、
$$ I = \frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_i))^{n-i-1}}{(n-i-1)!}. $$
となる。よって、これを代入して部分積分をしていけばよい。一つ目の積分は
$$ \begin{eqnarray} && \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i-1})} \frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_i))^{n-i-1}}{(n-i-1)!} \sin{u_i} d u_{i} \\ &=& \left[ \frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_i))^{n-i-1}}{(n-i-1)!} \sin{\left( u_i-\frac{\pi}{2} \right)} \right]_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i-1})} \\ && + \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i-1})} \frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_i))^{n-i-2}}{(n-i-2)!} \sin{\left( u_i - \frac{\pi}{2} \right)} d u_{i} \\ &=& \frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_{i-1}))^{n-i-1}}{(n-i-1)!} \sin{\frac{\pi}{2}} \\ && +\left[ \frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_i))^{n-i-2}}{(n-i-2)!} \sin{\left( u_i-\frac{2\pi}{2} \right)} \right]_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i-1})} \\ && + \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i-1})} \frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_i))^{n-i-3}}{(n-i-3)!} \sin{\left( u_i-\frac{2\pi}{2} \right)} d u_{i} \\ &=& \cdots \\ &=& \frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_{i-1}))^{n-i-1}}{(n-i-1)!} \sin{\frac{\pi}{2}} \\ && + \cdots \\ && + \frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_{i-1}))^{n-i-k}}{(n-i-k)!} \sin{\frac{k\pi}{2}} \\ && + \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i-1})} \frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_i))^{n-i-(k+1)}}{(n-i-(k+1))!} \sin{\left( u_i-\frac{k\pi}{2} \right)} d u_{i} \\ &=& \sum_{k=1}^{n-i-1} \frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_{i-1}))^{n-i-k}}{(n-i-k)!} \sin{\frac{k\pi}{2}} \\ && + \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i-1})} \sin{\left( u_i-\frac{(n-i-1)\pi}{2} \right)} d u_{i} \\ &=& \sum_{k=1}^{n-i} \frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_{i-1}))^{n-i-k}}{(n-i-k)!} \sin{\frac{k\pi}{2}} \\ && + \sin{\left( 2\pi - (u_1 + \cdots + u_{i-1}) - \frac{(n-i) \pi}{2} \right)} . \end{eqnarray} $$
したがって、元の積分は
$$ \begin{eqnarray} && \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-2})} \sin{u_i} d u_{n-1} d u_{n-2} \cdots d u_{1} \\ &=& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i-2})} \sum_{k=1}^{n-i} \frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_{i-1}))^{n-i-k}}{(n-i-k)!} \sin{\frac{k\pi}{2}} d u_{i-1} d u_{i-2} \cdots d u_{1} \\ && + \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i-2})} \sin{\left( 2\pi - (u_1 + \cdots + u_{i-1}) - \frac{(n-i) \pi}{2} \right)} d u_{i-1} d u_{i-2} \cdots d u_{1} . \end{eqnarray} $$
となる。ただし$i=1$では積分がないので、
$$ \begin{eqnarray} && \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-2})} \sin{u_1} d u_{n-1} d u_{n-2} \cdots d u_{1} \\ &=& \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(2 \pi)^{n-1-k}}{(n-1-k)!} \sin{\frac{k\pi}{2}} + \sin{\left( 2\pi - \frac{(n-1) \pi}{2} \right)} \\ &=& \sum_{k=1}^{n-2} \frac{(2 \pi)^{k}}{k!} \sin{\frac{(n-1-k)\pi}{2}} . \, \cdots (4) \end{eqnarray} $$
となる。ここで$i=1$の最後の変形は第二項を第一項の$k=n-1$と打ち消し、そのあと$k$の順を逆にした。
　$i\neq 1$の場合の積分を続ける。$(2)$式とほぼ同様の計算により、
$$ \begin{eqnarray} && \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i-2})} \sum_{k=1}^{n-i} \frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_{i-1}))^{n-i-k}}{(n-i-k)!}\sin{\frac{k\pi}{2}} d u_{i-1} d u_{i-2} \cdots d u_{1} \\ &=& \sum_{k=1}^{n-i} \sin{\frac{k\pi}{2}} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i-2})} \frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_{i-1}))^{n-i-k}}{(n-i-k)!} d u_{i-1} d u_{i-2} \cdots d u_{1} \\ &=& \sum_{k=1}^{n-i} \frac{(2 \pi)^{n-1-k}}{(n-1-k)!} \sin{\frac{k\pi}{2}} \\ &=& \sum_{k=i-1}^{n-2} \frac{(2 \pi)^{k}}{k!} \sin{\frac{(n-1-k)\pi}{2}} . \, \cdots (5) \end{eqnarray} $$
と計算される。また、(3)の計算とほぼ同じようにして($\sin$の位相に定数加えるだけだが、定積分で位相がマイナスされていることに注意)
$$ \begin{eqnarray} && \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i-2})} \sin{\left( 2\pi - (u_1 + \cdots + u_{i-1}) - \frac{(n-i) \pi}{2} \right)} d u_{i-1} d u_{i-2} \cdots d u_{1} \\ &=& \sum_{k=1}^{i-2} \frac{(2 \pi)^k}{k!} \sin{ \left( \frac{\pi}{2} (i-k-1)+\frac{\pi}{2} (n-i) \right) } \\ &=& \sum_{k=1}^{i-2} \frac{(2 \pi)^k}{k!} \sin{ \frac{(n-1-k)\pi}{2} . } \, \cdots (6) \end{eqnarray} $$
と計算される。ただし$i=2$ならば$0$とする。

分子の値まとめ

　$(3),(4),(5),(6)$を用いると、分子の値は以下のようになる。
$$ \frac{1}{2} \left[ (3) + \sum_{i=2}^{n-1}\{ (4) + (5) \} + (6) \right] . $$
具体的値を求める。その際$\displaystyle z(k) := \frac{(2 \pi)^k}{k!}\sin{ \frac{(n-1-k) \pi}{2} }$とする。また、総和の範囲が$i=2$の時に空となるが、その時の和は$0$と定義する(このほうがきれいだからという理由)。具体的値は次のように求まる。
$$ \begin{eqnarray} && \frac{1}{2} \left[ \sum_{k=1}^{n-2} z(k) + \sum_{i=2}^{n-1} \left\{ \sum_{k=i-1}^{n-2} z(k) +\sum_{k=1}^{i-2} z(k) \right\} + \sum_{k=1}^{n-2} z(k) \right] \\ &=& \frac{1}{2} \left\{ 2\sum_{k=1}^{n-2} z(k) + \sum_{i=2}^{n-1} \sum_{k=1}^{n-2} z(k) \right\} \\ &=& \frac{n}{2} \sum_{k=1}^{n-2} z(k) . \end{eqnarray} $$
あまりにも簡潔すぎて、今までの計算の冗長性を疑ってしまう(実際漸化式を立てたほうが楽だったと今更気づいた)。

答え

　$(1)$にすべて代入すると
$$ \begin{eqnarray} && \frac{\displaystyle \frac{n}{2} \sum_{k=1}^{n-2} \frac{(2 \pi)^k}{k!}\sin{ \frac{(n-1-k) \pi}{2} } }{ (2\pi)^{n-1} / (n-1)! } \\ &=& \frac{\pi n!}{(2 \pi)^n} \sum_{k=1}^{n-2} \frac{(2 \pi)^k}{k!}\sin{ \frac{(n-1-k) \pi}{2} } . \end{eqnarray} $$
となる。覚えていたらもうちょっと追記します。