円$x^2+y^2=1$上に$n \geq 3$つの点$
\{P_0=(\cos{\theta_0},\sin{\theta_0}) = (1,0),
\, P_1=(\cos{\theta_1},\sin{\theta_1}),
\, \cdots ,
\, P_{n-1}=(\cos{\theta_{n-1}},\sin{\theta_{n-1}})\}$
があるとする($0 = \theta_0 < \theta_1 < \theta_2 < \cdots < \theta_{n-1}$)。このとき$n$角形$P_0P_1 \cdots P_n$の面積の平均値を求める。
この記事は結果こそ簡潔なものの、煩雑な計算のみしか掲載していない。
個々の計算は筆者が深夜テンションでやったものなので、間違いの見つかる可能性が大いにあり。
$1 \leq i \leq n$に対して
$$
u_i = \theta_{i} - \theta_{i-1}.
$$
と置く。ただし$\theta_n = 2 \pi$とし、$u_n = 2\pi - \displaystyle \sum_{i=1}^{n-1} u_i$は$u_i \, (1 \leq i \leq n-1)$の関数とする。
すると平均値は
$$
\frac{\displaystyle
\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-2})}
\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} \sin{u_i}
d u_{n-1} d u_{n-2} \cdots d u_{1}
}
{\displaystyle
\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-2})}
d u_{n-1} d u_{n-2} \cdots d u_{1}
}. \, \cdots (1)
$$
となる。覚えていたら追記する。
まず分母から計算をする。
$$
\begin{eqnarray}
&& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-2})}
d u_{n-1} \cdots d u_1 \\
&=& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-3})}
(2 \pi - (u_1 + \cdots +u_{n-2}))
d u_{n-2} \cdots d u_1 \\
&=& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-4})}
\frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots +u_{n-3}))^2}{2}
d u_{n-3} \cdots d u_1 \\
&=& \cdots \\
&=& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-1-(k+1)})}
\frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots +u_{n-1-k}))^k}{k!}
d u_{n-1-k} \cdots d u_{1} \\
&=& \cdots \\
&=& \frac{(2 \pi)^{n-1}}{(n-1)!} . \, \cdots (2)
\end{eqnarray}
$$
次に分子を計算する。$\displaystyle
\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-2})}
\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} \sin{u_i}
d u_{n-1} d u_{n-2} \cdots d u_{1}$は総和の$i$に対して場合分けをする。
$$
\begin{eqnarray}
&& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-2})}
\sin{u_n}
d u_{n-1} \cdots d u_{1} \\
&=& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-2})}
\sin{(2 \pi - (u_1 + \cdots u_{n-1}))}
d u_{n-1} \cdots d u_{1} \\
&=& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-3})}
\left\{
\sin{ \left(
2 \pi - (u_1 + \cdots u_{n-2})-\frac{\pi}{2} \right) }
+ \sin{\frac{\pi}{2}}
\right\}
d u_{n-2} \cdots d u_{1} \\
&=& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-3})}
\sin{ \left(
2 \pi - (u_1 + \cdots u_{n-2})-\frac{\pi}{2} \right) } d u_{n-2} \cdots d u_{1} \\
&& + \sin{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-3})}d u_{n-2} \cdots d u_{1}
\end{eqnarray}
$$
ここで$\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-3})}d u_{n-2} \cdots d u_{1}$は式$(2)$と全く同じ計算をすることで得られる。
$$
\begin{eqnarray}
&=& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-3})}
\sin{ \left(
2 \pi - (u_1 + \cdots u_{n-2})-\frac{\pi}{2}
\right) }
d u_{n-2} \cdots d u_{1} \\
&& + \sin{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-3})}d u_{n-2} \cdots d u_{1} \\
&=& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-3})}
\sin{ \left(
2 \pi - (u_1 + \cdots u_{n-2})-\frac{\pi}{2}
\right) }
d u_{n-2} \cdots d u_{1} \\
&& +\frac{(2 \pi)^{n-2}}{(n-2)!} \sin{\frac{\pi}{2}} \\
&=& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-4})}
\sin{ \left(
2 \pi - (u_1 + \cdots u_{n-3})-\frac{2\pi}{2}
\right) }
d u_{n-3} \cdots d u_{1} \\
&& +\frac{(2 \pi)^{n-2}}{(n-2)!} \sin{\frac{\pi}{2}}
+ \sin{\frac{2\pi}{2}} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-4})}d u_{n-3} \cdots d u_{1} \\
&=& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-4})}
\sin{ \left(
2 \pi - (u_1 + \cdots u_{n-3})-\frac{2\pi}{2}
\right) }
d u_{n-3} \cdots d u_{1} \\
&& +\frac{(2 \pi)^{n-2}}{(n-2)!} \sin{\frac{\pi}{2}}
+ \frac{(2 \pi)^{n-3}}{(n-3)!} \sin{\frac{2\pi}{2}} \\
&=& \cdots \\
&=& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-1-(k+1)})}
\sin{ \left(
2 \pi - (u_1 + \cdots u_{n-1-k})-\frac{k\pi}{2}
\right) }
d u_{n-1-k} \cdots d u_{1} \\
&& +\frac{(2 \pi)^{n-2}}{(n-2)!} \sin{\frac{\pi}{2}}
+ \cdots
+ \frac{(2 \pi)^{n-1-k}}{(n-1-k)!} \sin{\frac{k\pi}{2}} \\
&=& \cdots \\
&=& \int_{0}^{2 \pi}
\sin{ \left(
2 \pi - u_1-\frac{(n-2)\pi}{2}
\right) }
d u_{1}
+ \sum_{k=1}^{n-2} \frac{(2 \pi)^{n-1-k}}{(n-1-k)!} \sin{\frac{k \pi}{2}} \\
&=& \sum_{k=1}^{n-2} \frac{(2 \pi)^{k}}{k!} \sin{\frac{(n-1-k) \pi}{2}}. \, \cdots (3)
\end{eqnarray}
$$
ただし最後の行においては総和の$k$の向きを変えた。
$$
\begin{eqnarray}
&& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-2})}
\sin{u_i}
d u_{n-1} d u_{n-2} \cdots d u_{1} \\
&=& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i-1})}
I \sin{u_i}
d u_{i} d u_{i-1} \cdots d u_{1}
\end{eqnarray}
$$
ただし
$$
I=
\int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i})} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-2})}
d u_{n-1} \cdots d u_{i+1}
$$
と置いた。また、$i=1$のときには$2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-2})$を$2 \pi$とする。この$I$は式$(1)$とほぼ同じように計算できて、
$$
I = \frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_i))^{n-i-1}}{(n-i-1)!}.
$$
となる。よって、これを代入して部分積分をしていけばよい。一つ目の積分は
$$
\begin{eqnarray}
&& \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i-1})}
\frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_i))^{n-i-1}}{(n-i-1)!} \sin{u_i}
d u_{i} \\
&=& \left[
\frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_i))^{n-i-1}}{(n-i-1)!} \sin{\left(
u_i-\frac{\pi}{2}
\right)}
\right]_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i-1})} \\
&& + \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i-1})}
\frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_i))^{n-i-2}}{(n-i-2)!} \sin{\left(
u_i - \frac{\pi}{2}
\right)}
d u_{i} \\
&=& \frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_{i-1}))^{n-i-1}}{(n-i-1)!} \sin{\frac{\pi}{2}} \\
&& +\left[
\frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_i))^{n-i-2}}{(n-i-2)!} \sin{\left(
u_i-\frac{2\pi}{2}
\right)}
\right]_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i-1})} \\
&& + \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i-1})}
\frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_i))^{n-i-3}}{(n-i-3)!} \sin{\left(
u_i-\frac{2\pi}{2}
\right)}
d u_{i} \\
&=& \cdots \\
&=& \frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_{i-1}))^{n-i-1}}{(n-i-1)!} \sin{\frac{\pi}{2}} \\
&& + \cdots \\
&& + \frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_{i-1}))^{n-i-k}}{(n-i-k)!} \sin{\frac{k\pi}{2}} \\
&& + \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i-1})}
\frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_i))^{n-i-(k+1)}}{(n-i-(k+1))!} \sin{\left(
u_i-\frac{k\pi}{2}
\right)}
d u_{i} \\
&=& \sum_{k=1}^{n-i-1} \frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_{i-1}))^{n-i-k}}{(n-i-k)!} \sin{\frac{k\pi}{2}} \\
&& + \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i-1})}
\sin{\left(
u_i-\frac{(n-i-1)\pi}{2}
\right)}
d u_{i} \\
&=& \sum_{k=1}^{n-i} \frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_{i-1}))^{n-i-k}}{(n-i-k)!} \sin{\frac{k\pi}{2}} \\
&& + \sin{\left(
2\pi - (u_1 + \cdots + u_{i-1}) - \frac{(n-i) \pi}{2}
\right)} .
\end{eqnarray}
$$
したがって、元の積分は
$$
\begin{eqnarray}
&& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-2})}
\sin{u_i}
d u_{n-1} d u_{n-2} \cdots d u_{1} \\
&=& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i-2})}
\sum_{k=1}^{n-i}
\frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_{i-1}))^{n-i-k}}{(n-i-k)!} \sin{\frac{k\pi}{2}}
d u_{i-1} d u_{i-2} \cdots d u_{1} \\
&& + \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i-2})}
\sin{\left(
2\pi - (u_1 + \cdots + u_{i-1}) - \frac{(n-i) \pi}{2}
\right)}
d u_{i-1} d u_{i-2} \cdots d u_{1} .
\end{eqnarray}
$$
となる。ただし$i=1$では積分がないので、
$$
\begin{eqnarray}
&& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{n-2})}
\sin{u_1}
d u_{n-1} d u_{n-2} \cdots d u_{1} \\
&=& \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(2 \pi)^{n-1-k}}{(n-1-k)!} \sin{\frac{k\pi}{2}}
+ \sin{\left(
2\pi - \frac{(n-1) \pi}{2}
\right)} \\
&=& \sum_{k=1}^{n-2} \frac{(2 \pi)^{k}}{k!} \sin{\frac{(n-1-k)\pi}{2}} . \, \cdots (4)
\end{eqnarray}
$$
となる。ここで$i=1$の最後の変形は第二項を第一項の$k=n-1$と打ち消し、そのあと$k$の順を逆にした。
$i\neq 1$の場合の積分を続ける。$(2)$式とほぼ同様の計算により、
$$
\begin{eqnarray}
&& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i-2})}
\sum_{k=1}^{n-i}
\frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_{i-1}))^{n-i-k}}{(n-i-k)!}\sin{\frac{k\pi}{2}}
d u_{i-1} d u_{i-2} \cdots d u_{1} \\
&=& \sum_{k=1}^{n-i} \sin{\frac{k\pi}{2}} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i-2})}
\frac{(2 \pi - (u_1 + \cdots + u_{i-1}))^{n-i-k}}{(n-i-k)!}
d u_{i-1} d u_{i-2} \cdots d u_{1} \\
&=& \sum_{k=1}^{n-i} \frac{(2 \pi)^{n-1-k}}{(n-1-k)!} \sin{\frac{k\pi}{2}} \\
&=& \sum_{k=i-1}^{n-2} \frac{(2 \pi)^{k}}{k!} \sin{\frac{(n-1-k)\pi}{2}} . \, \cdots (5)
\end{eqnarray}
$$
と計算される。また、(3)の計算とほぼ同じようにして($\sin$の位相に定数加えるだけだが、定積分で位相がマイナスされていることに注意)
$$
\begin{eqnarray}
&& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi - u_1} \cdots \int_{0}^{2 \pi -(u_1 + \cdots +u_{i-2})}
\sin{\left(
2\pi - (u_1 + \cdots + u_{i-1}) - \frac{(n-i) \pi}{2}
\right)}
d u_{i-1} d u_{i-2} \cdots d u_{1} \\
&=& \sum_{k=1}^{i-2} \frac{(2 \pi)^k}{k!} \sin{
\left(
\frac{\pi}{2} (i-k-1)+\frac{\pi}{2} (n-i)
\right)
} \\
&=& \sum_{k=1}^{i-2} \frac{(2 \pi)^k}{k!} \sin{
\frac{(n-1-k)\pi}{2} .
} \, \cdots (6)
\end{eqnarray}
$$
と計算される。ただし$i=2$ならば$0$とする。
$(3),(4),(5),(6)$を用いると、分子の値は以下のようになる。
$$
\frac{1}{2} \left[
(3) + \sum_{i=2}^{n-1}\{
(4) + (5)
\}
+ (6)
\right] .
$$
具体的値を求める。その際$\displaystyle z(k) := \frac{(2 \pi)^k}{k!}\sin{ \frac{(n-1-k) \pi}{2} }$とする。また、総和の範囲が$i=2$の時に空となるが、その時の和は$0$と定義する(このほうがきれいだからという理由)。具体的値は次のように求まる。
$$
\begin{eqnarray}
&& \frac{1}{2} \left[
\sum_{k=1}^{n-2} z(k)
+ \sum_{i=2}^{n-1} \left\{
\sum_{k=i-1}^{n-2} z(k)
+\sum_{k=1}^{i-2} z(k)
\right\}
+ \sum_{k=1}^{n-2} z(k)
\right] \\
&=& \frac{1}{2} \left\{
2\sum_{k=1}^{n-2} z(k)
+ \sum_{i=2}^{n-1}
\sum_{k=1}^{n-2} z(k)
\right\} \\
&=& \frac{n}{2} \sum_{k=1}^{n-2} z(k) .
\end{eqnarray}
$$
あまりにも簡潔すぎて、今までの計算の冗長性を疑ってしまう(実際漸化式を立てたほうが楽だったと今更気づいた)。
$(1)$にすべて代入すると
$$
\begin{eqnarray}
&& \frac{\displaystyle
\frac{n}{2} \sum_{k=1}^{n-2} \frac{(2 \pi)^k}{k!}\sin{ \frac{(n-1-k) \pi}{2} }
}{
(2\pi)^{n-1} / (n-1)!
} \\
&=& \frac{\pi n!}{(2 \pi)^n} \sum_{k=1}^{n-2} \frac{(2 \pi)^k}{k!}\sin{ \frac{(n-1-k) \pi}{2} } .
\end{eqnarray}
$$
となる。覚えていたらもうちょっと追記します。