20210502: アンタッチャブルなんで
ロングスリーパー御用達: 人生みたいに.
$L$ を言語, $M$ を無限 $L$-構造とするとき, $M$ が極小構造であるとは, 任意のパラメータを用いて定義可能な集合が有限または補有限であることをいう.
$L$ を言語, $M$ を無限 $L$-構造とするとき, $M$ が強極小構造であるとは, 任意の $M$ と初等同値な構造が極小構造であることをいう.
$L$-構造 $M$ と部分集合 $A \subset M$ について, $L(A)$-論理式で有限個の解を持つものを $A$-代数的であるという.
$L$-構造 $M$ と部分集合 $A \subset M$ について, $A$-代数的な論理式の解を集めたものを $A$ をモデル的代数閉包といい, $\acl{A}$ と表記する.
極小構造 $M$ について, $(M,\mathrm{acl})$ は前幾何となる.
任意の $A \subset M$ に対して $b \in c(A \cup \{a\}) \setminus c(A)$ ならば $a \in c(A \cup \{b\})$ であることのみを示す. このとき, $L(A)$-論理式 $p(x,y)$ であって, $p(a,b)$ かつ $p(a,y)$ を充たすような $y$ が有限個であるようなものを取れる. ここで $p(a,y)$ の解が $t$ 個であったとする.
$a \notin c(A \cup \{b\})$ とする. このとき, $q_b(x)$ を「$p(x,b)$ が成り立ち, かつ $p(x,y)$ の解は $t$ 個である」と定めると, $q(x)$ の解空間は $a$ を含む補有限である. このとき, 補空間の濃度を $s$ とする.
このとき, $r(z)$ を「$q_z(x)$ の解空間の補空間は濃度 $s$ である」と定めると, $b \notin c(A)$ より, $r(z)$ の解空間は無限である.
ここで $r(z)$ の解として $a_0,\ldots, a_n$ と取ると, $q_{a_i}(x)$ の共通の解を取れる. これは $n$ を充分大きく取れば矛盾.
短いね. こんなもんでいいか ? まあでもなんかめずらしく文章を書いてやってもいいみたいな気持ち. ゴミの過大評価: 概キャラクター: 人間とそうでないもののゾーニングを確かにしていこう. そこには善性の欠片もない, 計算機かぶれの薬物中毒者の住む廃街.
書き散らしってのはこんなもんで.
$M$, $N$ を $L$-構造, $A \subset M$, $B \subset N$ について, 写像$f\colon A\to B$ が初等的であるとは, $L(A)$-論理式の正誤が写像で保たれることをいう.
$M$, $N$ を $L$-構造, $A \subset M$, $B \subset N$ について, 写像$f\colon A\to B$ が初等的同型であるとする. このとき $f$ は $A$ のモデル的代数閉包から $B$ のモデル的代数閉包への初等的同型に拡張可能である.
御存知 Zorn. ここで $m \in \acl{A}$ について, $m$ を $a_1, \ldots, a_n$ を使って有限の解にできる. 論理式 $p$ について $p(a_1,\ldots,a_n,x)$ の有限解に $m$ が含まれている. ここで $p$ として解の個数が最小となるように選んでおく. ところで $p(f(a_1),\ldots,f(a_n),n)$ なる $n$ が存在する. $n \in \acl{B}$ が成り立つ.
これは拡張可能性を示す. 極大な拡張 $\tilde{f}\colon A' \to B'$ について $A' \neq \acl{A}$ が成り立っているとする. $m \in \acl{A} \setminus A'$ とする. このとき, $M$ で $q(m,c_1,\ldots,c_d)$ が成り立っているならば 「$p(x,a_1,\ldots,a_n)$ ならば $q(x,c_1,\ldots,c_d)$」も $M$ で成り立っている. よって $\tilde{f}$ の初等性を用いれば, Zorn の議論を使える.
逆向きについても同様の議論をおこなえばよい.
