20210502: アンタッチャブルなんで

任意の $A\subset M$ に対して $b\in c(A\cup \{a\})\setminus c(A)$ ならば $a\in c(A\cup \{b\})$ であることのみを示す. このとき, $L(A)$-論理式 $p(x,y)$ であって, $p(a,b)$ かつ $p(a,y)$ を充たすような $y$ が有限個であるようなものを取れる. ここで $p(a,y)$ の解が $t$ 個であったとする.

$a\notin c(A\cup \{b\})$ とする. このとき, $q_b(x)$ を「$p(x,b)$ が成り立ち, かつ $p(x,y)$ の解は $t$ 個である」と定めると, $q(x)$ の解空間は $a$ を含む補有限である. このとき, 補空間の濃度を $s$ とする.

このとき, $r(z)$ を「$q_z(x)$ の解空間の補空間は濃度 $s$ である」と定めると, $b\notin c(A)$ より, $r(z)$ の解空間は無限である.

ここで $r(z)$ の解として $a_0,\dots ,a_n$ と取ると, $q_{a_i}(x)$ の共通の解を取れる. これは $n$ を充分大きく取れば矛盾.

御存知 Zorn. ここで $m\in \mathrm{acl}(A)$ について, $m$ を $a_1,\dots ,a_n$ を使って有限の解にできる. 論理式 $p$ について $p(a_1,\dots ,a_n,x)$ の有限解に $m$ が含まれている. ここで $p$ として解の個数が最小となるように選んでおく. ところで $p(f(a_1),\dots ,f(a_n),n)$ なる $n$ が存在する. $n\in \mathrm{acl}(B)$ が成り立つ.

これは拡張可能性を示す. 極大な拡張 $\tilde{f}:A^{\prime }\to B^{\prime }$ について $A^{\prime }\ne \mathrm{acl}(A)$ が成り立っているとする. $m\in \mathrm{acl}(A)\setminus A^{\prime }$ とする. このとき, $M$ で $q(m,c_1,\dots ,c_d)$ が成り立っているならば 「$p(x,a_1,\dots ,a_n)$ ならば $q(x,c_1,\dots ,c_d)$」も $M$ で成り立っている. よって $\tilde{f}$ の初等性を用いれば, Zorn の議論を使える.

逆向きについても同様の議論をおこなえばよい.