三項間の漸化式の解法に就いて (計算用紙)

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1

$(a_i)_{i\geqslant0}=0,\ 1,\ 5,\ 19,\ 65,\ 211,\ \ldots.$

$$ \begin{align} &[\ x^2=5x-6\Longleftrightarrow x\in\{2,\ 3\}.\ ]\\\ \\ &\left(\begin{array}{l}\alpha\stackrel{\mathrm{def}}{=}2\\\beta\stackrel{\mathrm{def}}{=}3\end{array}\right..\\\ \\ &\left(\begin{array}{l}\alpha^2=5\alpha-6\\\beta^2=5\beta-6\end{array}\right..\\\ \\ &\left(\begin{array}{l}\alpha^{i+2}=5\alpha^{i+1}-6\alpha^i\\\beta^{i+2}=5\beta^{i+1}-6\beta^i\end{array}\right..\\\ \\ &x_i=c\alpha^i+d\beta^i\Longrightarrow x_{i+2}=5x_{i+1}-6x_i\quad(c,\ d\in\mathbb{C}).\\ \ \\\ \\\ \end{align} $$
$$ \begin{align} &\left(\begin{array}{l}c+d=a_0=0\\c\alpha+d\beta=a_1=1\end{array}\right..\\\ \\ &(c,d)=\left(\frac{1}{\alpha-\beta},-\frac{1}{\alpha-\beta}\right).\\\ \\ &a_i=\frac{\alpha^i-\beta^i}{\alpha-\beta}=3^i-2^i.\!\!\!\begin{array}{c|}\quad\\\hline\end{array} \end{align} $$

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2

$(a_i)_{i\geqslant0}=0,\ 1,\ 4,\ 12,\ 32,\ 80,\ \ldots.$

$$ \begin{align} &[\ x^2=4x-4\Longleftrightarrow x=2.\ ]\\\ \\ &\alpha\stackrel{\mathrm{def}}{=}2.\\\ \\ &\alpha^2=4\alpha-4.\\\ \\ &\left(\begin{array}{l}\alpha^{i+2}=4\alpha^{i+1}-4\alpha^i\\i\alpha^{i+2}=4i\alpha^{i+1}-4i\alpha^i\end{array}\right..\\\ \\ &\left(\begin{array}{l}\alpha^{i+2}=4\alpha^{i+1}-4\alpha^i\\(i+2)\alpha^{i+2}=4(i+1)\alpha^{i+1}-4i\alpha^i\end{array}\right..\\\ \\ &x_i=c\alpha^i+di\alpha^i\Longrightarrow x_{i+2}=4x_{i+1}-4x_i\quad(c,\ d\in\mathbb{C}).\\ \ \\\ \\\ \end{align} $$
$$ \begin{align} &\left(\begin{array}{l}c=a_0=0\\c\alpha+d\alpha=a_1=1\end{array}\right..\\\ \\ &(c,d)=\left(0,1/\alpha\right).\\\ \\ &a_i=i\alpha^{i-1}=i\cdot2^{i-1}.\!\!\!\begin{array}{c|}\quad\\\hline\end{array} \end{align} $$

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3

私としては, 高校数学の教科書に載っているものよりも, 上記のような解法のほうがよほど明解で, 特性多項式が生き生きと ( ? ) しているように思えます. 今回の記事で伝えたかったことは以上の通りなのですが, より理解を深めたいという方は是非 Fibonacci 数についての記事もご一読ください. 数列や初等的な整数の性質を学ぶためなら, Fibonacci 数列は恰好の題材になるはずです.

短いですが, 今回はここで終わりにしたいと思います.

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