三項間の漸化式の解法に就いて (計算用紙)
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1
$(a_i)_{i\geqslant0}=0,\ 1,\ 5,\ 19,\ 65,\ 211,\ \ldots.$
$a_{i+2}=5a_{i+1}-6a_i,\quad a_0=0,\quad a_1=1.$
$$
\begin{align}
&[\ x^2=5x-6\Longleftrightarrow x\in\{2,\ 3\}.\ ]\\\ \\
&\left(\begin{array}{l}\alpha\stackrel{\mathrm{def}}{=}2\\\beta\stackrel{\mathrm{def}}{=}3\end{array}\right..\\\ \\
&\left(\begin{array}{l}\alpha^2=5\alpha-6\\\beta^2=5\beta-6\end{array}\right..\\\ \\
&\left(\begin{array}{l}\alpha^{i+2}=5\alpha^{i+1}-6\alpha^i\\\beta^{i+2}=5\beta^{i+1}-6\beta^i\end{array}\right..\\\ \\
&x_i=c\alpha^i+d\beta^i\Longrightarrow x_{i+2}=5x_{i+1}-6x_i\quad(c,\ d\in\mathbb{C}).\\
\ \\\ \\\
\end{align}
$$
$$
\begin{align}
&\left(\begin{array}{l}c+d=a_0=0\\c\alpha+d\beta=a_1=1\end{array}\right..\\\ \\
&(c,d)=\left(\frac{1}{\alpha-\beta},-\frac{1}{\alpha-\beta}\right).\\\ \\
&a_i=\frac{\alpha^i-\beta^i}{\alpha-\beta}=3^i-2^i.\!\!\!\begin{array}{c|}\quad\\\hline\end{array}
\end{align}
$$
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2
$(a_i)_{i\geqslant0}=0,\ 1,\ 4,\ 12,\ 32,\ 80,\ \ldots.$
$a_{i+2}=4a_{i+1}-4a_i,\quad a_0=0,\quad a_1=1.$
$$
\begin{align}
&[\ x^2=4x-4\Longleftrightarrow x=2.\ ]\\\ \\
&\alpha\stackrel{\mathrm{def}}{=}2.\\\ \\
&\alpha^2=4\alpha-4.\\\ \\
&\left(\begin{array}{l}\alpha^{i+2}=4\alpha^{i+1}-4\alpha^i\\i\alpha^{i+2}=4i\alpha^{i+1}-4i\alpha^i\end{array}\right..\\\ \\
&\left(\begin{array}{l}\alpha^{i+2}=4\alpha^{i+1}-4\alpha^i\\(i+2)\alpha^{i+2}=4(i+1)\alpha^{i+1}-4i\alpha^i\end{array}\right..\\\ \\
&x_i=c\alpha^i+di\alpha^i\Longrightarrow x_{i+2}=4x_{i+1}-4x_i\quad(c,\
d\in\mathbb{C}).\\
\ \\\ \\\
\end{align}
$$
$$
\begin{align}
&\left(\begin{array}{l}c=a_0=0\\c\alpha+d\alpha=a_1=1\end{array}\right..\\\ \\
&(c,d)=\left(0,1/\alpha\right).\\\ \\
&a_i=i\alpha^{i-1}=i\cdot2^{i-1}.\!\!\!\begin{array}{c|}\quad\\\hline\end{array}
\end{align}
$$
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3
私としては, 高校数学の教科書に載っているものよりも, 上記のような解法のほうがよほど明解で, 特性多項式が生き生きと ( ? ) しているように思えます. 今回の記事で伝えたかったことは以上の通りなのですが, より理解を深めたいという方は是非 Fibonacci 数についての記事もご一読ください. 数列や初等的な整数の性質を学ぶためなら, Fibonacci 数列は恰好の題材になるはずです.
短いですが, 今回はここで終わりにしたいと思います.
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