三項間の漸化式の解法に就いて (計算用紙)

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1

$(a_i{)}_{i⩾0}=0,1,5,19,65,211,\dots .$

$$\begin{array}{rl}& [x^2=5x-6⟺x\in \{2,3\}.]\\ \\ & (\begin{array}{c}\alpha \stackrel{\mathrm{def}}{=}2\\ \beta \stackrel{\mathrm{def}}{=}3\end{array}.\\ \\ & (\begin{array}{c}{\alpha }^2=5\alpha -6\\ {\beta }^2=5\beta -6\end{array}.\\ \\ & (\begin{array}{c}{\alpha }^{i+2}=5{\alpha }^{i+1}-6{\alpha }^i\\ {\beta }^{i+2}=5{\beta }^{i+1}-6{\beta }^i\end{array}.\\ \\ & x_i=c{\alpha }^i+d{\beta }^i⟹x_{i+2}=5x_{i+1}-6x_i(c,d\in \mathbb{C}).\\ \\ \\ \end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& (\begin{array}{c}c+d=a_0=0\\ c\alpha +d\beta =a_1=1\end{array}.\\ \\ & (c,d)=(\frac{1}{\alpha -\beta },-\frac{1}{\alpha -\beta }).\\ \\ & a_i=\frac{{\alpha }^i-{\beta }^i}{\alpha -\beta }=3^i-2^i.\overline{)\begin{array}{c}\end{array}}\end{array}$$

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2

$(a_i{)}_{i⩾0}=0,1,4,12,32,80,\dots .$

$$\begin{array}{rl}& [x^2=4x-4⟺x=2.]\\ \\ & \alpha \stackrel{\mathrm{def}}{=}2.\\ \\ & {\alpha }^2=4\alpha -4.\\ \\ & (\begin{array}{c}{\alpha }^{i+2}=4{\alpha }^{i+1}-4{\alpha }^i\\ i{\alpha }^{i+2}=4i{\alpha }^{i+1}-4i{\alpha }^i\end{array}.\\ \\ & (\begin{array}{c}{\alpha }^{i+2}=4{\alpha }^{i+1}-4{\alpha }^i\\ (i+2){\alpha }^{i+2}=4(i+1){\alpha }^{i+1}-4i{\alpha }^i\end{array}.\\ \\ & x_i=c{\alpha }^i+di{\alpha }^i⟹x_{i+2}=4x_{i+1}-4x_i(c,d\in \mathbb{C}).\\ \\ \\ \end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& (\begin{array}{c}c=a_0=0\\ c\alpha +d\alpha =a_1=1\end{array}.\\ \\ & (c,d)=(0,1/\alpha ).\\ \\ & a_i=i{\alpha }^{i-1}=i\cdot 2^{i-1}.\overline{)\begin{array}{c}\end{array}}\end{array}$$

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3

私としては, 高校数学の教科書に載っているものよりも, 上記のような解法のほうがよほど明解で, 特性多項式が生き生きと ( ? ) しているように思えます. 今回の記事で伝えたかったことは以上の通りなのですが, より理解を深めたいという方は是非 Fibonacci 数についての記事もご一読ください. 数列や初等的な整数の性質を学ぶためなら, Fibonacci 数列は恰好の題材になるはずです.

短いですが, 今回はここで終わりにしたいと思います.

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