作用素・双線形形式・2次形式の関係について

作用素・双線形形式・2次形式の関係について

準備

定義1 (エルミート作用素)

$H$ を複素ヒルベルト空間, $A:H\to H$ を線形作用素とする. A がエルミート(Hermitian)であるとは
$$⟨Ax,y⟩=⟨x,Ay⟩(\mathrm{\forall }x,y\in H)$$
が成り立つことである.

定義2 (自己共役作用素)

$H$ を複素ヒルベルト空間, $A:H\to H$ を線形作用素とする. A がエルミートかつ有界であるとき $A$ は自己共役(self-adjoint)であるという.

注意

上に明記されていない用語の定義は全て"Introduction to Hilbert Spaces" の定義に従うものとする.

本題

設定

$H$ を複素ヒルベルト空間, $A,B:H\to H$ を線形作用素とする. 双線形形式 ${\varphi }_A,{\varphi }_B:H\times H\to \mathbb{C}$ を
$$\begin{gathered} {\varphi }_A(x,y)=⟨Ax,y⟩ \\ {\varphi }_B(x,y)=⟨Bx,y⟩ \end{gathered}$$
によって定め, ${\mathrm{\Phi }}_A,{\mathrm{\Phi }}_b$ をそれぞれ ${\varphi }_A,{\varphi }_B$ の2次形式とする.

定理3 (相当)

以下の1,2,3 は同値である:

1. $A=B$
2. ${\varphi }_A={\varphi }_B$
3. ${\mathrm{\Phi }}_A={\mathrm{\Phi }}_B$

(証明)

1⇨2: 明らか.

2⇨3: 明らか.

3⇨2: "Introduction to Hilbert Spaces" Theorem 4.3.8

2⇨1: ${\varphi }_A={\varphi }_B$ であると仮定すると, 任意の $x,y\in H$ に対して $⟨Ax,y⟩=⟨Bx,y⟩$ が成り立つ. 任意の $x\in H$ に対して
$$\begin{array}{rl}\parallel Ax-Bx{\parallel }^2& =⟨Ax-Bx,Ax-Bx⟩\\ & =⟨Ax,Ax⟩-⟨Ax,Bx⟩-⟨Bx,Ax⟩+⟨Bx,Bx⟩\\ & =⟨Ax,Ax⟩-⟨Bx,Bx⟩-⟨Ax,Ax⟩+⟨Bx,Bx⟩\\ & =0\end{array}$$

定理4 (有界性)

以下の1,2,3は同値である:

1. $A$ 有界である
2. ${\varphi }_A$ は有界である
3. ${\mathrm{\Phi }}_A$ は有界である

(証明)

1⇨2: "Introduction to Hilbert Spaces" Definition 4.3.5 の下

2⇨1: ${\varphi }_A$ は有界と仮定するとある $K>0$ が存在して任意の $x,y\in H$ $に対して|⟨Ax,y⟩|\le K\parallel x\parallel \parallel y\parallel$ が成り立つ.

よって任意の $x\in H$ に対して $\parallel Ax{\parallel }^2=⟨Ax,Ax⟩\le K\parallel x\parallel \parallel Ax\parallel$ が成り立つ. よって $\parallel Ax\parallel \le K\parallel x\parallel$ となるから $A$ は有界である.

2⇨3: "Introduction to Hilbert Spaces" Theorem 4.3.10

3⇨2: "Introduction to Hilbert Spaces" Theorem 4.3.10

定理5 (自己共役・対称性)

以下の1,2,3は同値である:

1. $A$ は自己共役である
2. ${\varphi }_A$ はsymmetricである
3. ${\mathrm{\Phi }}_A$ は実である

(証明)

1⇨2: $A$ が自己共役のとき任意の$x,y\in H$ に対して
$${\varphi }_A(x,y)=⟨Ax,y⟩=⟨x,Ay⟩=\overline{⟨Ay,x⟩}=\overline{{\varphi }_A(y,x)}$$

よって ${\varphi }_A$ はsymmetricである.

2⇨1 (Helinger-Toeplitz): ${\varphi }_A$ がsymmetricであると仮定すると $⟨Ax,y⟩=\overline{⟨Ay,x⟩}=⟨x,Ay⟩$ が成り立つ. よって $A$ はエルミートである. 次に $A$ が有界であることを言いたい. $B$ を $H$ の単位球面として各 $x\in B$ に対して線形汎関数 $f_x:B\to \text{C}$ を
$$f_x(y)=⟨y,Ax⟩$$

によって定義する. $A$がエルミートであることより任意の $y\in B$ に対して
$$\underset{x\in B}{sup}|f_x(y)|=\underset{x\in B}{sup}|⟨y,Ax⟩|=\underset{x\in B}{sup}|⟨Ay,x⟩|\le \parallel Ay\parallel <\mathrm{\infty }$$
が成り立つから, 一様有界性の原理(Introduction to Hilbert Spaces :Thm 1.5.13) より
$$\underset{x\in B}{sup}\underset{y\in B}{sup}|⟨Ax,y⟩|<\mathrm{\infty }$$
が成り立つ. 従って
$$(\underset{x\in B}{sup}\parallel Ax\parallel {)}^2\le \underset{x\in B}{sup}\parallel Ax{\parallel }^2=\underset{x\in B}{sup}|⟨Ax,Ax⟩|\le \underset{x\in B}{sup}\underset{y\in B}{sup}|⟨Ax,y⟩|<\mathrm{\infty }$$
となるから $A$ が有界であることが示された.

2⇨3, 3⇨2: (Introduction to Hilbert Spaces :Thm 4.3.9)

定理6 (正定値性)

以下の1,2,3は同値である:

1. $A$ はpositiveである
2. ${\varphi }_A$ はpositiveである
3. ${\mathrm{\Phi }}_A$ はpositiveである

(証明)

1⇨3: 定義より明らか.

3⇨1: ${\mathrm{\Phi }}_A$ がpositiveであるとすると ${\mathrm{\Phi }}_A$ は実であるから, 定理5より $A$ は自己共役である. また任意の $x\in H$ に対して $⟨Ax,x⟩\ge 0$ が成り立つから $A$ はpositive であることが示された.

2⇨3: 定義より明らか.

3⇨2: 定義より明らか.