単項イデアルの生成元が単元で移り合わない例について（再考）

昨日の例は自分のミスで反例ではなかったので、改めて考えてみた。

$(\alpha )=(\beta )$なら$\alpha =s\beta ,\beta =t\alpha$と表せるから、これらが不定元となるような環を考える。つまり$\alpha ,t,s$を不定元として、$\beta :=t\alpha$と定義する。すると$\alpha =s\beta =st\alpha$となるので、これが常に成り立っていればよい。

$K$を体として、$R=K[\alpha ,s,t]/(\alpha -st\alpha )$と定める。このとき$\beta :=t\alpha$とすると$\alpha =st\alpha =s\beta$となる。また$(\alpha )=(st\alpha )=(s\beta )\subset (\beta )=(t\alpha )\subset (\alpha )$より$(\alpha )=(\beta )$が成り立つ。

主張 $\alpha ,\beta$は単元で移り合わない。

ある$u$が存在して$\alpha =u\beta$が$R$において成り立つとする。このとき$\alpha -u\beta \in (\alpha -st\alpha )$より、ある$f$が存在して$\alpha -ut\alpha =f(\alpha -st\alpha )$を満たす。このとき$\alpha (1-ut-f+fst)=0$だから多項式環の整域性より$1-ut-f+fst=0$である。$u$について解きたいが$t$が邪魔なのでなんとかしたい。

$f=1-t(u-fs)$なので$g:=u-fs$とおくと$f=1-tg$となる。すると$u=(1-tg)s+g=(1-ts)g+s$を得る。ここでもし$u$が$R$において単元なら、ある$p,q$が存在して

$$p[(1-ts)g+s]+q[\alpha -st\alpha ]=1$$

と表せる。$\alpha =0$を代入すると特に$p(s,t)[(1-ts)g(s,t)+s]=1$が成り立つ。しかし全次数を考えると左辺が$0$次になることはないので矛盾する。

また、ある$v$が存在して$\beta =v\alpha$が$R$において成り立つとする。このとき$t\alpha -v\alpha \in (\alpha -st\alpha )$より、ある$h$が存在して$t\alpha -v\alpha =h(\alpha -st\alpha )$を満たす。同様に$t-v=h(1-st)$だから、$v=-h(1-st)+t$を得る。残りの議論も同様に従う。

所感

今度は大丈夫なハズ…。もし間違ってたら是非コメント等で指摘して頂けると助かります。

もう少し簡単な例は無いのかな。非整域は魔境。