Mathlog初カキコ。とりあえずはてなブログの僕の記事適当にコピペしつつMathlogの機能使ってアレンジしてみます(変なとこあったら教えてください)。
非負整数に対し、の階乗とは、からまでの全ての整数の積のことを言い、と表記します。ただし、とします。は明らかにで発散しますが、Stirlingの公式はこの漸近式を与えます
さて、階乗を一般化した概念として、多重階乗(と書く場合もあります。ただし、が小さければ、と書かずに個数分書くのが一般的です(多分))というのがあり、正の整数と整数に対して、次のように帰納的に定義されます(Wikipediaからパクります←オイ)
つまり、は個飛ばしの整数の積を表します。この概念にもStirlingの公式と同様に近似公式を考えることができます。
なお、定義を見れば分かるように、はをで割った余りによって挙動が変わってしまうので、より求めやすくかつ分かりやすくするために、の漸近公式を求めることにします(はなる整数)。
すると、近似公式はこのようになります
道具として、Stirlingの公式と、階乗の一般化であるGamma関数の無限積表示
を用います。以下、とは有限であることに注意しましょう。
まず、上記の無限積でとすると
であり
より
が分かります。ここで、Stirlingの公式より
なのでが従います。イェイ!Mathlog扱いやすすぎて草。はてなブログとは大違いや...。これからこっちメインにしようかな(暫くははてなブログの記事をこっちに移植する作業しかせんけど)。