多重階乗の近似公式(Stirlingの公式の一般化)
Mathlog初カキコ。とりあえずはてなブログの僕の記事適当にコピペしつつMathlogの機能使ってアレンジしてみます(変なとこあったら教えてください)。
非負整数$ n $に対し、$ n $の階乗とは、$ 1 $から$ n $までの全ての整数の積のことを言い、$ n! $と表記します。ただし、$ 0! := 1$とします。$ n! $は明らかに$ n\to\infty $で発散しますが、Stirlingの公式はこの漸近式を与えます$\colon$
$$ n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\ \ \ (n\to\infty) $$
さて、階乗を一般化した概念として、多重階乗$ n!_m $($n\overbrace{!\cdots !}^{m}$と書く場合もあります。ただし、$ m $が小さければ、$\overbrace{!\cdots !}^{m}$と書かずに個数分書くのが一般的です(多分))というのがあり、正の整数$m$と整数$n$に対して、次のように帰納的に定義されます(Wikipediaからパクります←オイ)$\colon$
$$ n!_m := \begin{cases} n\{(n-m)!_m\} & (n\ge1) \\ 1 & (-m+1\le n\le 0) \\ 0 & (n\le -m) \end{cases} $$
つまり、$n!_m$は$m-1$個飛ばしの整数の積を表します。この概念にもStirlingの公式と同様に近似公式を考えることができます。
なお、定義を見れば分かるように、$n!_m$は$ n $を$ m $で割った余りによって挙動が変わってしまうので、より求めやすくかつ分かりやすくするために、$ (mn-k)!_m $の漸近公式を求めることにします($k$は$0\le k\le m-1$なる整数)。
すると、近似公式はこのようになります$\colon$
$$ (mn-k)!_m\sim\frac{\sqrt{2\pi}}{\Gamma(1-\frac{k}{m})}n^{\frac{1}{2}-\frac{k}{m}}\left(\frac{mn}{e}\right)^n\ \ \ (n\to\infty) $$
道具として、Stirlingの公式と、階乗の一般化であるGamma関数の無限積表示
$$
\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{j=0}^{n}(z+j)}
$$
を用います。以下、$m$と$k$は有限であることに注意しましょう。
まず、上記の無限積で$ z=1-\frac{k}{m}$とすると
$$
\Gamma\left(1-\frac{k}{m}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{1-\frac{k}{m}}n!}{\prod_{j=0}^{n}(1-\frac{k}{m}+j)}
$$
であり
$$
\begin{align*}
\prod_{j=0}^{n}\left(1-\frac{k}{m}+j\right) &=\frac{1}{m^{n+1}}\prod_{j=0}^{n}\{m(j+1)-k\} \\\\
&=\frac{(m(n+1)-k)!_m}{m^{n+1}} \\\\
&=\frac{m(n+1)-k}{m^{n+1}}(mn-k)!_m
\end{align*}
$$
より
$$
(mn-k)!_m\sim\frac{n^{1-\frac{k}{m}}n!}{\Gamma(1-\frac{k}{m})}\cdot\frac{m^{n+1}}{m(n+1)-k}\ \ \ (n\to\infty)
$$
が分かります。ここで、Stirlingの公式より
$$
\begin{align*}
n!\frac{m^{n+1}}{m(n+1)-k}&\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\frac{m^{n+1}}{m(n+1)-k} \\\\
&=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{mn}{e}\right)^n\frac{m}{m(n+1)-k} \\\\
&=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{mn}{e}\right)^n\frac{1}{n+1-\frac{k}{m}} \\\\
&\sim\sqrt{\frac{2\pi}{n}}\left(\frac{mn}{e}\right)^n
\end{align*}
$$
なので
$$ (mn-k)!_m\sim\frac{\sqrt{2\pi}}{\Gamma(1-\frac{k}{m})}n^{\frac{1}{2}-\frac{k}{m}}\left(\frac{mn}{e}\right)^n\ \ \ (n\to\infty) $$
が従います。イェイ！
Mathlog扱いやすすぎて草。はてなブログとは大違いや...。これからこっちメインにしようかな(暫くははてなブログの記事をこっちに移植する作業しかせんけど)。