多重階乗の近似公式(Stirlingの公式の一般化)

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Mathlog初カキコ。とりあえずはてなブログの僕の記事適当にコピペしつつMathlogの機能使ってアレンジしてみます(変なとこあったら教えてください)。

非負整数 $n$ に対し、 $n$ の階乗とは、 $1$ から $n$ までの全ての整数の積のことを言い、 $n!$ と表記します。ただし、 $0! := 1$ とします。 $n!$ は明らかに $n \to \infty$ で発散しますが、Stirlingの公式はこの漸近式を与えます $:$

Stirlingの公式

$n! \sim \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n} (n \to \infty)$

さて、階乗を一般化した概念として、多重階乗 $n!_{m}$ ( $n \overset{m}{\overset{⏞}{! \dots!}}$ と書く場合もあります。ただし、 $m$ が小さければ、 $\overset{m}{\overset{⏞}{! \dots!}}$ と書かずに個数分書くのが一般的です(多分))というのがあり、正の整数 $m$ と整数 $n$ に対して、次のように帰納的に定義されます(Wikipediaからパクります←オイ) $:$

多重階乗

$n!_{m} := {\begin{cases} n {(n - m)!_{m}} & (n \geq 1) \\ 1 & (- m + 1 \leq n \leq 0) \\ 0 & (n \leq - m) \end{cases}$

つまり、 $n!_{m}$ は $m - 1$ 個飛ばしの整数の積を表します。この概念にもStirlingの公式と同様に近似公式を考えることができます。

なお、定義を見れば分かるように、 $n!_{m}$ は $n$ を $m$ で割った余りによって挙動が変わってしまうので、より求めやすくかつ分かりやすくするために、 $(m n - k)!_{m}$ の漸近公式を求めることにします( $k$ は $0 \leq k \leq m - 1$ なる整数)。

すると、近似公式はこのようになります $:$

多重階乗の近似公式

$(m n - k)!_{m} \sim \frac{\sqrt{2 π}}{Γ (1 - \frac{k}{m})} n^{\frac{1}{2} - \frac{k}{m}} {(\frac{m n}{e})}^{n} (n \to \infty)$

道具として、Stirlingの公式と、階乗の一般化であるGamma関数の無限積表示
$Γ (z) = lim_{n \to \infty} \frac{n^{z} n!}{\prod_{j = 0}^{n} (z + j)}$
を用います。以下、 $m$ と $k$ は有限であることに注意しましょう。

まず、上記の無限積で $z = 1 - \frac{k}{m}$ とすると
$Γ (1 - \frac{k}{m}) = lim_{n \to \infty} \frac{n^{1 - \frac{k}{m}} n!}{\prod_{j = 0}^{n} (1 - \frac{k}{m} + j)}$
であり
$\begin{aligned} \prod_{j = 0}^{n} (1 - \frac{k}{m} + j) & = \frac{1}{m^{n + 1}} \prod_{j = 0}^{n} {m (j + 1) - k} \\ = \frac{(m (n + 1) - k)!_{m}}{m^{n + 1}} \\ = \frac{m (n + 1) - k}{m^{n + 1}} (m n - k)!_{m} \end{aligned}$
より
$(m n - k)!_{m} \sim \frac{n^{1 - \frac{k}{m}} n!}{Γ (1 - \frac{k}{m})} \cdot \frac{m^{n + 1}}{m (n + 1) - k} (n \to \infty)$
が分かります。ここで、Stirlingの公式より
$\begin{aligned} n! \frac{m^{n + 1}}{m (n + 1) - k} & \sim \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n} \frac{m^{n + 1}}{m (n + 1) - k} \\ = \sqrt{2 π n} {(\frac{m n}{e})}^{n} \frac{m}{m (n + 1) - k} \\ = \sqrt{2 π n} {(\frac{m n}{e})}^{n} \frac{1}{n + 1 - \frac{k}{m}} \\ \sim \sqrt{\frac{2 π}{n}} {(\frac{m n}{e})}^{n} \end{aligned}$