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多重階乗の近似公式(Stirlingの公式の一般化)

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Mathlog初カキコ。とりあえずはてなブログの僕の記事適当にコピペしつつMathlogの機能使ってアレンジしてみます(変なとこあったら教えてください)。

非負整数nに対し、nの階乗とは、1からnまでの全ての整数の積のことを言い、n!と表記します。ただし、0!:=1とします。n!は明らかにnで発散しますが、Stirlingの公式はこの漸近式を与えます:

Stirlingの公式

n!2πn(ne)n   (n)

さて、階乗を一般化した概念として、多重階乗n!m(n!!mと書く場合もあります。ただし、mが小さければ、!!mと書かずに個数分書くのが一般的です(多分))というのがあり、正の整数mと整数nに対して、次のように帰納的に定義されます(Wikipediaからパクります←オイ):

多重階乗

n!m:={n{(nm)!m}(n1)1(m+1n0)0(nm)

つまり、n!mm1個飛ばしの整数の積を表します。この概念にもStirlingの公式と同様に近似公式を考えることができます。

なお、定義を見れば分かるように、n!mnmで割った余りによって挙動が変わってしまうので、より求めやすくかつ分かりやすくするために、(mnk)!mの漸近公式を求めることにします(k0km1なる整数)。

すると、近似公式はこのようになります:

多重階乗の近似公式

(mnk)!m2πΓ(1km)n12km(mne)n   (n)

道具として、Stirlingの公式と、階乗の一般化であるGamma関数の無限積表示
Γ(z)=limnnzn!j=0n(z+j)
を用います。以下、mkは有限であることに注意しましょう。

まず、上記の無限積でz=1kmとすると
Γ(1km)=limnn1kmn!j=0n(1km+j)
であり
j=0n(1km+j)=1mn+1j=0n{m(j+1)k}=(m(n+1)k)!mmn+1=m(n+1)kmn+1(mnk)!m
より
(mnk)!mn1kmn!Γ(1km)mn+1m(n+1)k   (n)
が分かります。ここで、Stirlingの公式より
n!mn+1m(n+1)k2πn(ne)nmn+1m(n+1)k=2πn(mne)nmm(n+1)k=2πn(mne)n1n+1km2πn(mne)n


なので
(mnk)!m2πΓ(1km)n12km(mne)n   (n)
が従います。イェイ!

Mathlog扱いやすすぎて草。はてなブログとは大違いや...。これからこっちメインにしようかな(暫くははてなブログの記事をこっちに移植する作業しかせんけど)。

投稿日:202153
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投稿者

京大理学部B3数理科学系

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