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複素数を定義してみよう

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目標

Rの直積を用いて複素数を定義することが本記事の目標です.

素朴な複素数の定義

複素数は素朴には,以下のような定義でした.すなわち,x2=1を満たす異なる2解のうち一方をiとおき,{a+bia,bR}なる集合を考え,これをCとかきます.Cの元を複素数とよびます.Cは体になります.すなわち,次の公理を満たします.

集合Fに対して,加法と乗法という二つの演算が定まっているとする.Fが次を満たすとき,Fを体とよぶ.

A1. 任意のa,bFに対して,和a+bFが定まっている.
A2. 任意のa,bFに対して,a+b=b+aが成立する.
A3. 任意のa,b,cFに対して,(a+b)+c=a+(b+c)が成立する.
A4. ある元0Fが存在し,a+0=0+a=aが成立する.この0を零元とよぶ.零元は一意的である.実際,0,0を零元とすると,0=0+0=0である.
A5. 任意のaFに対して,bが存在して,a+b=b+a=0が成立する.このbaの加法逆元とよぶ.加法逆元は一意的である.実際,b,baの加法逆元とすると,b+a=0=b+aであり,b=0+b=(b+a)+b=(b+a)+b=b+(a+b)=b+(b+a)=b+0=bである.
A6. 任意のa,bFに対して,積abFが定まっている.
A7. 任意のa,bFに対して,ab=baが成立する.
A8. 任意のa,b,cFに対して,a(bc)=(ab)cが成立する.
A9. 1F,10があって,任意のaFに対して,a1=aが成立する.この1を乗法単位元とよぶ.乗法単位元は一意的である.実際,1,1を乗法単位元とすると,1=11=1である.
A10. 任意の0でないaFに対して,bFが存在して,ab=1が成立する.このbaの乗法逆元とよぶ.乗法逆元は一意的である.実際,b,baの乗法逆元とすると,ba=1=baであり,b=b(ba)=b(ba)=b(ab)=(ba)b=1b=bである.
A11. 任意のa,b,cFに対して,a(b+c)=ab+bcが成立する.
任意のaFに対して定まる一意的な加法逆元をaとかく.
任意のaF,a0に対して定まる一意的な乗法逆元をa1とかく.

実際に体になっていることを確認するためには,上の11個の公理を満たすことを確認すればいいですね!
Cに定まる基本的な演算は以下の通りです.

  1. (a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i.
  2. (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
  3. a+bic+di=(acbd)+(bc+ad)ic2+d2.ただし,c2+d20.

以下では,素朴に定義した複素数とまったく同じ構造をもつ集合を定義しようということが目標になります.

似ているぞ

a+biは複素数平面の点として,直交座標系の一点(a,b)と似ています.そこで,逆に考えて,(a,b)a+biと見ようというのが概略です.つまり,R2にしかるべき構造を入れて,複素数を構成します.まずは,演算を定義しましょう.

演算

φ:R2×R2R2,ψ:R2×R2R2をそれぞれ写像として,
φ((a,b),(c,d))=(acbd,bc+ad)
ψ((a,b),(c,d))=(a+c,b+d)
で定義する.

突然よく分からない写像を定義しましたが,この写像で,R2に,素朴に定義した複素数と同じ演算を入れています.
φ,ψをそれぞれ乗法,加法と呼びます.R2に上の演算を入れたもの,(R2,φ,ψ)Cと書きます.すなわち,C=(R2,φ,ψ)です.Cの元を複素数とよびます.α=(a,b)C,β=(c,d)Cに対して,φ(α,β)=αβ,ψ(α,β)=α+βと書きます.α=(a,b),β=(c,d)Cに対して,α=βであることを,a=cかつb=dであることと定義します.
Cに関して,次が成立します.

Cは,上で定義した乗法と加法に関し,(0,0)を加法単位元,(1,0)を乗法単位元として体をなす.

体の公理を満たすことの確認

上で述べた体の公理を満たすことを確認する.
A1 写像の作り方から,任意のα,βCについて和α+βCが定まっている.
A2 任意のα=(a,b),β=(c,d)に対して,α+β=(a+c,b+d)=(c+a,d+b)=β+αが成立する.
A3 α=(a,b),β=(c,d),γ=(e,f)とすれば,(α+β)+γ=((a+c)+e,(b+d)+f)=(a+(c+e),b+(d+f))=α+(β+γ)が成立する.
A4 0=(0,0)とすれば,任意のα=(a,b)に対して,α+0=(a+0,b+0)=(a,b)=αが成立する.
A5 任意のα=(a,b)に対して,α=(a,b)とすれば,α+(α)=(0,0)=0が成立する.
A6 写像の作り方から,任意のα,βCについて積αβCが定まっている.
A7 任意のα=(a,b),β=(c,d)に対して,αβ=(acbd,bc+ad)=(cadb,cb+da)=βαが成立する.
A8 α=(a,b),β=(c,d),γ=(e,f)とすれば,
βγ=(cedf,de+cf),αβ=(acbd,bc+bd)であり,α(βγ)=(acebdeadfbcf,acfbdf+ade+bce),(αβ)γ=(acebdeadfbcf,acfbdf+ade+bce)であり,α(βγ)=(αβ)γが成立する.
A9 1=(1,0)とおく.任意のα=(a,b)に対して,α1=(a1b0,b1+a0)=αである.
A10 α=(a,b)0とする.このとき,a,bの少なくとも一方は0ではなく,a2+b2>0である.
そこで,α1=(aa2+b2,ba2+b2)とすると,αα1=(aaa2+b2bba2+b2,baa2+b2+aba2+b2)=(1,0)=1が成立する.
A11 α=(a,b),β=(c,d),γ=(e,f)とすれば,β+γ=(c+e,d+f),α(β+γ)=(a(c+e)b(d+f),b(c+e)+a(d+f))=(acbd,bc+ad)+(aebf,be+af)=αβ+αγが成立する.

以上により,Cが体の公理をすべて満たすことが確認できました.よって,上で定義したCはめでたく体になります!!!

虚数単位とは……

複素数といえば虚数単位,i=1の導入が本質的な役割を果たしていました.しかし,上の構成ではiが何なのか全くわかりません.ii2=1を満たすことが重要でした.では,上の定義でiに相当するものは一体何でしょうか.実は,次が成立します.

虚数単位

i=(0,1)とすれば,i2=1である.iを虚数単位とよぶ.ただし,1=(1,0)である.

i2=(01,0+0)=(1,0)=1.

上の命題では,実数1と,複素数1=(1,0)を同一視しています.同一視について少し考えてみます.写像p1:R×{0}Rとして,p1(x1,0)=x1なるものを考えます.φ,ψは上で定義した演算として,
(R×{0})×(R×{0})φ,ψR×{0}p1Rを考えれば(正確には,φ,ψは定義域の制限をしています),R×{0}からRへの写像が次のように定まります.すなわち,p1φ=Φとすれば,任意のα=(a,0),β=(b,0)に対して,Φ(α,β)=abとなり,ΦR×{0}の任意の二元の第一成分の積を返す写像になります.ψに関しても,p1ψ=Ψとすれば,Ψ(α,β)=a+bとなります.すなわち,(R×{0},Φ,Ψ)Rは”似て”います.つまり,複素数では(a,0)+(b,0)=(a+b,0),(a,0)(b,0)=(ab,0)となりますが,この第一成分に注目して,(a,0)R2aRと同じものとして考えるということです.(ということを考えましたが全く頓珍漢なことを言っているかもしれません.ご指摘いただければ幸いです.)
(a,0)aとかきます.

iを用いると,複素数について次のような表現が可能です.

複素数の表示

複素数(a,b)は,a+biとかける.

(a,b)=(a,0)+(0,b)=a+(b,0)(0,1)=a+bi.

以上で,R2から構成した複素数が,a+biという見慣れた表現を持つことがわかりました.

おまけ

ちょっとした計算をしてみましょう.
3=(0,3),2=(0,2)であり,32=(0,3)(0,2)=(6,0)=6です.

最後に

同一視ってなんでしょうか.よく分からなくなりました.
なにはともあれ,複素数の定義は完了です.

投稿日:202153
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zab
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