【大阪大学2021年度前期入試数学(理系)第1問】手始めのジャブ問題

note.com の記事の再投稿ではない，オリジナルの投稿としては今回が初めてとなります．どうぞよろしくお願いいたします．

note.com の方では今年度の早稲田大学(理系のみ)，東京大学，京都大学，東京工業大学，一橋大学，名古屋大学(理系のみ)の全問題を取り上げたのですが，これらの記事の再投稿と並行して，大阪大学の入試問題を取り上げます．最初は接線が2本存在する条件を求める問題と，関数の最小化問題です．

問題

解答解説

簡単なので落とせない問題です．

(1) の解答

曲線 ${\displaystyle y=\frac{1}{x}}$ 上の点 ${\displaystyle (p,\frac{1}{p})}$ (ただし $p>0$) における接線の方程式は、$y^{\prime }=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ より $y=-{\displaystyle \frac{1}{p^2}(x-p)+\frac{1}{p}}$ となります．これが点 $P$ を通るとすると，$b=-{\displaystyle \frac{1}{p^2}(a-p)+\frac{1}{p}}$ が得られ，この式を $p$ の方程式と見なすと $b{p}^2=-(a-p)+p=2p-a$ すなわち $b{p}^2-2p+a=0$ となります．ここで，$b>0$ であることに注意してください．

この $p$ の 2次方程式 $b{p}^2-2p+a=0$ の解 $s$, $t$ $(s<t)$ を求めると，$p={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{1-ab}}{b}}$ から $s={\displaystyle \frac{1-\sqrt{1-ab}}{b}}$，$t={\displaystyle \frac{1+\sqrt{1-ab}}{b}}$ となります．

(2) の解答

${\displaystyle \frac{t}{s}=\frac{1+\sqrt{1-ab}}{1-\sqrt{1-ab}}=-1+\frac{2}{1-\sqrt{1-ab}}}$ で，$0<ab<1$ であることから $0<\sqrt{1-ab}<1$ となるので，この式の分母は正であり，$ab$ の値が大きいほど分母は大きく，${\displaystyle \frac{t}{s}}$ は小さくなります．

点 $P(a,b)$ が曲線 $y={\displaystyle \frac{9}{4}-3x^2}$ 上にあることから $b={\displaystyle \frac{9}{4}-3a^2}$ が成立し，$b>0$ であることから，$3a^2<{\displaystyle \frac{9}{4}}$ すなわち $a^2<{\displaystyle \frac{3}{4}}$ すなわち ${\displaystyle (a+\frac{\sqrt{3}}{2})(a-\frac{\sqrt{3}}{2})<0}$ となり，$a>0$ であるので $a<{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ が成り立ちます．

さて，$ab={\displaystyle \frac{9}{4}a-3a^3}$ ですが，これを $f(a)$ とおき増減表を作ると，$f^{\prime }(a)={\displaystyle \frac{9}{4}-9a^2=9(\frac{1}{2}-a)(\frac{1}{2}+a)}$ から次のようになります．

したがって，$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$ のとき $f(a)$ は最大となり，このとき $b={\displaystyle \frac{9}{4}-3{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}}$, $f(a)$ の最大値は ${\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}(<1)}$, ${\displaystyle \frac{t}{s}}$ の最小値は ${\displaystyle \frac{1+\sqrt{\frac{1}{4}}}{1-\sqrt{\frac{1}{4}}}=\frac{3}{2}\times 2=3}$ となります．

感想

基本問題で特に困ることはないと思います．答案を書く時間もかかりません．できなければ不合格一直線と思っていいでしょう．そのくらい解かなきゃいけない問題だと思います．