2

【大阪大学2021年度前期入試数学(理系)第1問】手始めのジャブ問題

126
0
$$$$

note.com の記事の再投稿ではない,オリジナルの投稿としては今回が初めてとなります.どうぞよろしくお願いいたします.

note.com の方では今年度の早稲田大学(理系のみ),東京大学,京都大学,東京工業大学,一橋大学,名古屋大学(理系のみ)の全問題を取り上げたのですが,これらの記事の再投稿と並行して,大阪大学の入試問題を取り上げます.最初は接線が2本存在する条件を求める問題と,関数の最小化問題です.

問題

$a$, $b$$ab < 1$ を満たす正の実数とする.$xy$ 平面上の点 $P(a, b)$ から,曲線 $y = \displaystyle\frac{1}{x}\ (x > 0)$ に2本の接線を引き,その接点を $Q\displaystyle\left(s, \frac{1}{s}\right)$, $R\displaystyle\left(t, \frac{1}{t}\right)$ とする.ただし,$s < t$ とする.

  1. $s$ および $t$$a$, $b$ を用いて表せ.

  2. $P(a, b)$ が曲線 $y = \displaystyle\frac{9}{4} - 3x^2$ 上の $x > 0$, $y > 0$ をみたす部分を動くとき,$\displaystyle\frac{t}{s}$ の最小値とそのときの $a$, $b$ の値を求めよ.

解答解説

簡単なので落とせない問題です.

(1) の解答

曲線 $\displaystyle y = \frac{1}{x}$ 上の点 $\displaystyle\left(p, \frac{1}{p}\right)$ (ただし $p > 0$) における接線の方程式は、$y' = - \displaystyle\frac{1}{x^2}$ より $y = - \displaystyle\frac{1}{p^2}(x - p) + \frac{1}{p}$ となります.これが点 $P$ を通るとすると,$b = - \displaystyle\frac{1}{p^2}(a - p) + \frac{1}{p}$ が得られ,この式を $p$ の方程式と見なすと $bp^2 = -(a - p) + p = 2p - a$ すなわち $bp^2 - 2p + a = 0$ となります.ここで,$b > 0$ であることに注意してください.

この $p$ の 2次方程式 $bp^2 - 2p + a = 0$ の解 $s$, $t$ $(s < t)$ を求めると,$p = \displaystyle\frac{1 \pm \sqrt{1-ab}}{b}$ から $s = \displaystyle\frac{1 - \sqrt{1-ab}}{b}$$t = \displaystyle\frac{1 + \sqrt{1-ab}}{b}$ となります.

(2) の解答

$\displaystyle \frac{t}{s} = \frac{1 + \sqrt{1-ab}}{1 - \sqrt{1-ab}} = -1 + \frac{2}{1 - \sqrt{1-ab}}$ で,$0 < ab < 1$ であることから $0 < \sqrt{1-ab} < 1$ となるので,この式の分母は正であり,$ab$ の値が大きいほど分母は大きく,$\displaystyle\frac{t}{s}$ は小さくなります.

$P(a, b)$ が曲線 $y = \displaystyle\frac{9}{4} - 3x^2$ 上にあることから $b = \displaystyle\frac{9}{4} - 3a^2$ が成立し,$b > 0$ であることから,$3a^2 < \displaystyle\frac{9}{4}$ すなわち $a^2 < \displaystyle\frac{3}{4}$ すなわち $\displaystyle\left(a + \frac{\sqrt{3 }}{2}\right)\left(a - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) < 0$ となり,$a > 0$ であるので $a < \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$ が成り立ちます.

さて,$ab = \displaystyle\frac{9}{4}a - 3a^3$ ですが,これを $f(a)$ とおき増減表を作ると,$f'(a) = \displaystyle\frac{9}{4} - 9a^2 = 9\left(\frac{1}{2} - a\right)\left(\frac{1}{2} + a\right)$ から次のようになります.

$a$$0$$\displaystyle\frac{1}{2}$$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$
$f'(a)$$+$$0$$-$
$f(a)$$\nearrow$$\displaystyle\frac{3}{4}$ (最大)$\searrow$

したがって,$a = \displaystyle\frac{1}{2}$ のとき $f(a)$ は最大となり,このとき $b = \displaystyle\frac{9}{4} - 3\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$, $f(a)$ の最大値は $\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{4}\ (<1)$, $\displaystyle\frac{t}{s}$ の最小値は $\displaystyle\frac{1+\sqrt{\frac{1}{4}}}{1-\sqrt{\frac{1}{4}}} = \frac{3}{2} \times 2 = 3$ となります.

感想

基本問題で特に困ることはないと思います.答案を書く時間もかかりません.できなければ不合格一直線と思っていいでしょう.そのくらい解かなきゃいけない問題だと思います.

投稿日:202155

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

名前はトムヤムクン(TomYumGoong)と読みます.仕事で数学を使う電子・情報系人間.塾講師とは違った立場で気楽に,主に中学入試の算数と大学入試の数学の問題を眺めていこうと思っています.

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中