【大阪大学2021年度前期入試数学(理系)第1問】手始めのジャブ問題

note.com の記事の再投稿ではない，オリジナルの投稿としては今回が初めてとなります．どうぞよろしくお願いいたします．

note.com の方では今年度の早稲田大学(理系のみ)，東京大学，京都大学，東京工業大学，一橋大学，名古屋大学(理系のみ)の全問題を取り上げたのですが，これらの記事の再投稿と並行して，大阪大学の入試問題を取り上げます．最初は接線が2本存在する条件を求める問題と，関数の最小化問題です．

問題

解答解説

簡単なので落とせない問題です．

(1) の解答

曲線 $\displaystyle y = \frac{1}{x}$ 上の点 $\displaystyle\left(p, \frac{1}{p}\right)$ (ただし $p > 0$) における接線の方程式は、$y' = - \displaystyle\frac{1}{x^2}$ より $y = - \displaystyle\frac{1}{p^2}(x - p) + \frac{1}{p}$ となります．これが点 $P$ を通るとすると，$b = - \displaystyle\frac{1}{p^2}(a - p) + \frac{1}{p}$ が得られ，この式を $p$ の方程式と見なすと $bp^2 = -(a - p) + p = 2p - a$ すなわち $bp^2 - 2p + a = 0$ となります．ここで，$b > 0$ であることに注意してください．

この $p$ の 2次方程式 $bp^2 - 2p + a = 0$ の解 $s$, $t$ $(s < t)$ を求めると，$p = \displaystyle\frac{1 \pm \sqrt{1-ab}}{b}$ から $s = \displaystyle\frac{1 - \sqrt{1-ab}}{b}$，$t = \displaystyle\frac{1 + \sqrt{1-ab}}{b}$ となります．

(2) の解答

$\displaystyle \frac{t}{s} = \frac{1 + \sqrt{1-ab}}{1 - \sqrt{1-ab}} = -1 + \frac{2}{1 - \sqrt{1-ab}}$ で，$0 < ab < 1$ であることから $0 < \sqrt{1-ab} < 1$ となるので，この式の分母は正であり，$ab$ の値が大きいほど分母は大きく，$\displaystyle\frac{t}{s}$ は小さくなります．

点 $P(a, b)$ が曲線 $y = \displaystyle\frac{9}{4} - 3x^2$ 上にあることから $b = \displaystyle\frac{9}{4} - 3a^2$ が成立し，$b > 0$ であることから，$3a^2 < \displaystyle\frac{9}{4}$ すなわち $a^2 < \displaystyle\frac{3}{4}$ すなわち $\displaystyle\left(a + \frac{\sqrt{3 }}{2}\right)\left(a - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) < 0$ となり，$a > 0$ であるので $a < \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$ が成り立ちます．

さて，$ab = \displaystyle\frac{9}{4}a - 3a^3$ ですが，これを $f(a)$ とおき増減表を作ると，$f'(a) = \displaystyle\frac{9}{4} - 9a^2 = 9\left(\frac{1}{2} - a\right)\left(\frac{1}{2} + a\right)$ から次のようになります．

したがって，$a = \displaystyle\frac{1}{2}$ のとき $f(a)$ は最大となり，このとき $b = \displaystyle\frac{9}{4} - 3\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$, $f(a)$ の最大値は $\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{4}\ (<1)$, $\displaystyle\frac{t}{s}$ の最小値は $\displaystyle\frac{1+\sqrt{\frac{1}{4}}}{1-\sqrt{\frac{1}{4}}} = \frac{3}{2} \times 2 = 3$ となります．

感想

基本問題で特に困ることはないと思います．答案を書く時間もかかりません．できなければ不合格一直線と思っていいでしょう．そのくらい解かなきゃいけない問題だと思います．