２次方程式の解と係数の関係より、
a+b=4 , ab=8である。
よって、$ a^{2} $+$ b^{2} $=$ (a+b)^{2} $-2ab=$ 4^{2} $-2×8=0
よって、$ \frac{a}{b} $+$ \frac{b}{a} $=$ \frac{ a^{2}+ b^{2}}{ab} $=0
４次方程式の解と係数の関係より、
-p=(a+2b)+(2a+b)+$ \frac{a}{b} $+$ \frac{b}{a}$
=3a+3b
=12 よって、p=-12
q=(a+2b)(2a+b)+(a+2b)$ \frac{a}{b} $+(a+2b)$ \frac{b}{a} $+(2a+b)$ \frac{a}{b} $+(2a+b)$ \frac{b}{a} $+$ \frac{a}{b} $×$ \frac{b}{a} $
=(a+2b)(2a+b)+(a+2b)($ \frac{a}{b} $+$ \frac{b}{a} $)+(2a+b)($ \frac{a}{b} $+$ \frac{b}{a} $)+1
=2$ a^{2} $+5ab+2$ b^{2} $+1
=5ab+1
=41 よって、q=41
-r=(a+2b)(2a+b)$ \frac{a}{b} $+(a+2b)(2a+b)$ \frac{b}{a} $+(a+2b)$ \frac{a}{b} $×$ \frac{b}{a} $+(2a+b)$ \frac{a}{b} $×$ \frac{b}{a} $
=(a+2b)(2a+b)($ \frac{a}{b} $+$ \frac{b}{a} $)+(a+2b)+(2a+b)
=3a+3b
=12 よって、r=-12
s=(a+2b)(2a+b)$ \frac{a}{b} $×$ \frac{b}{a} $
=(a+2b)(2a+b)
=2$ a^{2} $+5ab+2$ b^{2} $
=5ab
=40 よって、s=40
よって、p+q+r+s=-12+41-12+40=57