OMC026B

２次方程式の解と係数の関係より、
a+b=4 , ab=8である。
よって、$a^2$+$b^2$=$(a+b{)}^2$-2ab=$4^2$-2×8=0
よって、$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$=$\frac{a^2+b^2}{ab}$=0
４次方程式の解と係数の関係より、
-p=(a+2b)+(2a+b)+$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$
=3a+3b
=12　よって、p=-12
q=(a+2b)(2a+b)+(a+2b)$\frac{a}{b}$+(a+2b)$\frac{b}{a}$+(2a+b)$\frac{a}{b}$+(2a+b)$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$×$\frac{b}{a}$
=(a+2b)(2a+b)+(a+2b)($\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$)+(2a+b)($\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$)+1
=2$a^2$+5ab+2$b^2$+1
=5ab+1
=41　よって、q=41
-r=(a+2b)(2a+b)$\frac{a}{b}$+(a+2b)(2a+b)$\frac{b}{a}$+(a+2b)$\frac{a}{b}$×$\frac{b}{a}$+(2a+b)$\frac{a}{b}$×$\frac{b}{a}$
=(a+2b)(2a+b)($\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$)+(a+2b)+(2a+b)
=3a+3b
=12　よって、r=-12
s=(a+2b)(2a+b)$\frac{a}{b}$×$\frac{b}{a}$
=(a+2b)(2a+b)
=2$a^2$+5ab+2$b^2$
=5ab
=40　よって、s=40
よって、p+q+r+s=-12+41-12+40=57