第2問はベクトルの内積に絡んだ問題ですが、特に問題になる箇所はないと思います。
問題
空間内に,同一平面上になり 4点 O, A, B, C がある., を , をみたす実数とする.線分 OA を に内分する点を ,線分 OB を に内分する点を,線分 AC を に内分する点を P,線分 BC を に内分する点を Q とする.さらに 4点 , , P, Q が同一平面上にあるとする.
を を用いて表せ.
, , , , , であるとき, の値を求めよ.
解答解説
(1) の解答
まず (1) ですが,表記を簡単にするために,点A, B, C を表す位置ベクトルを , , としておきます.このとき, は , は , は , は で表されます.
さて、, , P を通る平面は を満たす実数 , , を用いて で表され,4点 , , P, Q は同一平面上にあることから,
を満たす実数 , , が存在することになります.
O, A, B, C が同一平面上にないことから,ベクトル , , は独立であるので,
の両辺の , , の係数はそれぞれ等しくなります.よって,
が成り立ちます。この3式から
が得られ( に注意), これらを に代入することで
すなわち
となるため, であることに注意すると が答えとなります.
(2) の解答
, , の間の内積を求めておきます.
となります.
さらに となるわけですが,, であるので,
となる(ここで(1) より に注意)ので, すなわち となります.
感想
直線上にない3点 , , を通る平面を を満たす実数 , , を用いて で表すのは基本で,座標が与えられてない場合はもちろんのこと,与えられていたとしても(, , の文字を変えて)この方法を用いるのは有効です.
ちなみに, 三角形ABCの内部(境界線上を含む)を表すときには に加えて を条件とすればよく, 使い勝手が良いです.
もちろん, なぜこのように表されるのか, 理由も説明できるようにしておくといいでしょう. (簡単なのでご自身で考えてみてください. )