大阪大学2021年度前期入試数学(理系)第2問】基本を駆使したベクトル問題

第2問はベクトルの内積に絡んだ問題ですが、特に問題になる箇所はないと思います。

問題

解答解説

(1) の解答

まず (1) ですが，表記を簡単にするために，点A, B, C を表す位置ベクトルを $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ としておきます．このとき，$\mathrm{A}_0$ は $\displaystyle\frac{1}{2}\vec{a}$, $\mathrm{B}_0$ は $\displaystyle\frac{1}{3}\vec{b}$, $P$ は $(1-s)\vec{a} + s\vec{c}$, $Q$ は $(1-t)\vec{b} + t\vec{c}$ で表されます．

さて、$\mathrm{A}_0$, $\mathrm{B}_0$, P を通る平面は $x + y + z = 1$ を満たす実数 $x$, $y$, $z$ を用いて $\displaystyle x\left(\frac{1}{2}\vec{a}\right) + y\left(\frac{1}{3}\vec{b}\right) + z\left\{(1-s)\vec{a}+s\vec{c}\right\}$ で表され，4点 $\mathrm{A}_0$, $\mathrm{B}_0$, P, Q は同一平面上にあることから，
\begin{equation} 　　x\left(\frac{1}{2}\vec{a}\right) + y\left(\frac{1}{3}\vec{b}\right) + z\left\{(1-s)\vec{a}+s\vec{c}\right\} = (1-t)\vec{b}+t\vec{c}\mbox{ かつ }x + y + z = 1 \end{equation}
を満たす実数 $x$, $y$, $z$ が存在することになります．

O, A, B, C が同一平面上にないことから，ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ は独立であるので，
\begin{equation} 　　　x\left(\frac{1}{2}\vec{a}\right) + y\left(\frac{1}{3}\vec{b}\right) + z\left\{(1-s)\vec{a}+s\vec{c}\right\} = (1-t)\vec{b}+t\vec{c} \end{equation}
の両辺の $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ の係数はそれぞれ等しくなります．よって，
\begin{align} \frac{x}{2} + z(1-s) &= 0,& \frac{y}{3} &= 1 - t,& zs &= t \end{align}
が成り立ちます。この3式から
\begin{align} x &= 2z(s - 1) = \frac{2(s - 1)t}{s},& y &= 3(1 - t),& z &= \frac{t}{s} \end{align}
が得られ($s > 0$ に注意), これらを $x + y + z = 1$ に代入することで
\begin{equation} 　　　\frac{2(s - 1)t}{s} + 3(1-t) + \frac{t}{s} = 1 \end{equation}
すなわち
\begin{equation} 　　2(s-1)t + 3s(1-t) + t = s \mbox{ すなわち } (s+1)t = 2s \end{equation}
となるため，$s>0$ であることに注意すると $t = \displaystyle\frac{2s}{s+1}$ が答えとなります．

(2) の解答

$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ の間の内積を求めておきます．
\begin{align} \vec{a}\cdot\vec{b} &= |\vec{a}|\cdot |\vec{b}| \cos 120^\circ = 1 \times 2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -1,\\ \vec{b}\cdot\vec{c} &= |\vec{b}|\cdot|\vec{c}| \cos 90^\circ = 0,\\ \vec{c}\cdot\vec{a} &= |\vec{c}|\cdot|\vec{a}| \cos 60^\circ = 2 × 1 × \frac{1}{2} = 1 \end{align}
となります．

さらに $\overrightarrow{\rm OP}\cdot\overrightarrow{\rm OQ} = |\overrightarrow{\rm OP}|\cdot|\overrightarrow{\rm OQ}| \cos 90^\circ = 0$ となるわけですが，$\overrightarrow{\rm OP} = (1-s)\vec{a} + s\vec{c}$, $\overrightarrow{\rm OQ} = (1-t)\vec{b} + t\vec{c}$ であるので，
\begin{align} \overrightarrow{\rm OP}\cdot\overrightarrow{\rm OQ} &= (1-s)(1-t)\vec{a}\cdot\vec{b} + (1-s)t\vec{a}\cdot\vec{c} + s(1-t)\vec{c}\cdot\vec{b} + st|\vec{c}|^2\\ &= -(1-s)(1-t) + (1-s)t + 4st\\ &= -1 + s + t - st + t -st + 4st\\ &= -1 + s + 2(s + 1)t\\ &= -1 + 5s \end{align}
となる(ここで(1) より $t = \displaystyle\frac{2s}{s + 1}$ に注意)ので, $-1 + 5s = 0$ すなわち $s = \displaystyle\frac{1}{5}$ となります．

感想

直線上にない3点 $\mathrm{A}(\vec{a})$, $\mathrm{B}(\vec{b})$, $\mathrm{C}(\vec{c})$ を通る平面を $x + y + z = 1$ を満たす実数 $x$, $y$, $z$ を用いて $x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$ で表すのは基本で，座標が与えられてない場合はもちろんのこと，与えられていたとしても($x$, $y$, $z$ の文字を変えて)この方法を用いるのは有効です.

ちなみに, 三角形ABCの内部(境界線上を含む)を表すときには $x + y + z = 1$ に加えて $x, y, z \ge 0$ を条件とすればよく, 使い勝手が良いです.

もちろん, なぜこのように表されるのか, 理由も説明できるようにしておくといいでしょう. (簡単なのでご自身で考えてみてください. )