【東京大学2021年度入試数学(理系)第5問】関数と微分の退屈な問題

第5問は三角関数の微分を使った問題です．手厳しい言い方になりますが，前問とは打って変わって退屈なことこの上ない問題です．

問題

$α$ を正の実数とする。 $0 ≦ θ ≦ π$ における $θ$ の関数 $f (θ)$ を，座標平面上の $2$ 点 A $(- α, - 3)$ , P $(θ + \sin θ, \cos θ)$ 間の距離 AP の $2$ 乗として定める。

$0 < θ < π$ の範囲に $f^{'} (θ) = 0$ となる $θ$ がただ $1$ つ存在することを示せ。
以下が成り立つような $α$ の範囲を求めよ。

$0 ≦ θ ≦ π$ における $θ$ の関数 $f (θ)$ は，区間 $0 < θ < \frac{π}{2}$ のある点において最大になる。

解答解説

まずは何も考えずに $f (θ)$ を求めておきましょう．
$f (θ) = (θ + \sin θ + α)^{2} + (\cos θ + 3)^{2}$

(1) の解答

この問題を見て $f^{'}$ を求めるのは普通です．
$\begin{aligned} f^{'} (θ) & = 2 (θ + \sin θ + α) (1 + \cos θ) + 2 (\cos θ + 3) (- \sin θ) \\ = 2 {θ + θ \cos θ - 2 \sin θ + α \cos θ + α} \end{aligned}$
となります．さらに $f^{″}$ を求めると
$\begin{aligned} \frac{f^{″} (θ)}{2} & = 1 + \cos θ - θ \sin θ - 2 \cos θ - α \sin θ \\ = 1 - \cos θ - θ \sin θ - α \sin θ \end{aligned}$
となり，ここでもまだ $f^{'}$ がよく分からないので， $f^{‴}$ も求めます．
$\begin{aligned} \frac{f^{‴} (θ)}{2} & = \sin θ - \sin θ - θ \cos θ - α \cos θ \\ = - (θ + α) \cos θ \end{aligned}$

ここまで来てようやく関数の形状が見えてきます．以下の情報から，まず $f^{″}$ の増減表を書いてみましょう．

$0 ≦ θ < \frac{π}{2}$ のとき， $θ + α > 0$ かつ $\cos θ > 0$ より $f^{‴} (θ) < 0$
$f^{‴} (\frac{π}{2}) = 0$
$\frac{π}{2} < θ ≦ π$ のとき， $θ + α > θ$ かつ $\cos θ < 0$ より $f^{‴} (θ) > 0$

$θ$	$0$		$\frac{π}{2}$		$π$
$f^{‴} (θ)$		$-$	$0$	$+$
$f^{″} (θ)$	$0$	$↘$	$2 - π - 2 α$ (最小)	$↗$	$4$

ということで， $0 < θ < π$ の範囲に $f^{″} (θ) = 0$ となる $θ$ がただ $1$ つ存在します．これを $ϕ$ としておきます．このとき， $f^{'}$ の増減表は次のようになります．

$θ$	$0$		$ϕ$		$π$
$f^{″} (θ)$		$-$	$0$	$+$
$f^{'} (θ)$	$4 α$	$↘$	最小値	$↗$	$0$

さてここで、 $f^{'} (π) = 0$ であるので， $ϕ ≦ θ < π$ のとき $f^{'} (θ) < 0$ となります．すなわち，この区間では $f^{'} (θ) = 0$ となる $θ$ は存在しません．

また， $0 < θ < ϕ$ のときに $f^{'} (θ)$ は単調減少し， $f^{'} (θ) = 4 α > 0$ かつ $f^{'} (ϕ) < 0$ であるので， $f^{'} (θ) = 0$ となる $θ$ がこの区間でただ1つ存在します．

これで命題は証明されました。

(2) の解答

(1) より，区間 $0 < θ < π$ で $f^{'} (θ) = 0$ となる $θ$ がただ 1つ存在するので，それを $ψ$ とおきます．

(1) の増減表より $0 < θ < ψ$ のとき $f^{'} (θ) > 0$ であり， $ψ < θ < π$ のとき $f^{'} (θ) < 0$ であるので， $f (θ)$ は $θ = ψ$ のときに最大となります．

$θ$	$0$		$ψ$		$π$
$f^{'} (θ)$		$+$	$0$	$-$
$f (θ)$		$↗$	最大値	$↘$

区間 $0 < θ < π$ で $f^{'} (θ) = 0$ となる $θ$ はただ $1$ つであり， $f^{'} (θ) = 4 α > 0$ であるので， $0 < ψ < \frac{π}{2}$ であるための必要十分条件は， $f^{'} (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} - 2 + α < 0$ が成立することとなります．