【東京大学2021年度入試数学(理系)第5問】関数と微分の退屈な問題

第5問は三角関数の微分を使った問題です．手厳しい言い方になりますが，前問とは打って変わって退屈なことこの上ない問題です．

問題

解答解説

まずは何も考えずに $f(\theta)$ を求めておきましょう．
\begin{equation} 　　　f(\theta) = (\theta + \sin \theta + \alpha)^2 + (\cos \theta + 3)^2 \end{equation}

(1) の解答

この問題を見て $f'$ を求めるのは普通です．
\begin{align} f'(\theta) &= 2(\theta + \sin \theta + \alpha)(1 + \cos \theta) + 2(\cos \theta + 3)(-\sin \theta)\\ &=2\{\theta +\theta\cos\theta - 2\sin\theta + \alpha\cos\theta + \alpha\} \end{align}
となります．さらに $f''$ を求めると
\begin{align} \frac{f''(\theta)}{2} &= 1 + \cos \theta - \theta \sin \theta - 2 \cos \theta - \alpha \sin \theta\\ &= 1 - \cos \theta - \theta \sin \theta - \alpha \sin \theta \end{align}
となり，ここでもまだ $f'$ がよく分からないので，$f'''$ も求めます．
\begin{align} \frac{f'''(\theta)}{2} &= \sin \theta - \sin \theta - \theta \cos \theta - \alpha \cos \theta\\ &= - (\theta + \alpha) \cos \theta \end{align}

ここまで来てようやく関数の形状が見えてきます．以下の情報から，まず $f''$ の増減表を書いてみましょう．

• $0 \leqq \theta < \displaystyle\frac{\pi}{2}$ のとき，$\theta + \alpha > 0$ かつ $\cos \theta > 0$ より $f'''(\theta) < 0$
• $\displaystyle f'''\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$
• $\displaystyle \frac{\pi}{2} < \theta \leqq \pi$ のとき，$\theta + \alpha > \theta$ かつ $\cos \theta < 0$ より $f'''(\theta) > 0$

ということで，$0 < \theta < π$ の範囲に $f''(\theta) = 0$ となる $\theta$ がただ $1$つ存在します．これを $\phi$ としておきます．このとき，$f'$ の増減表は次のようになります．

さてここで、$f'(\pi) = 0$ であるので， $\phi \leqq \theta < \pi$ のとき $f'(\theta) < 0$ となります．すなわち，この区間では $f'(\theta) = 0$ となる $\theta$ は存在しません．

また，$0 < \theta < \phi$ のときに $f'(\theta)$ は単調減少し，$f'(\theta) = 4\alpha > 0$ かつ $f'(\phi) < 0$ であるので，$f'(\theta) = 0$ となる $\theta$ がこの区間でただ1つ存在します．

これで命題は証明されました。

(2) の解答

(1) より，区間 $0 < \theta < \pi$ で $f'(\theta) = 0$ となる $\theta$ がただ 1つ存在するので，それを $\psi$ とおきます．

(1) の増減表より $0 < \theta < \psi$ のとき $f'(\theta) > 0$ であり，$\psi < \theta < \pi$ のとき $f'(\theta) < 0$ であるので，$f(\theta)$ は $\theta = \psi$ のときに最大となります．

区間 $0 < \theta < \pi$ で $f'(\theta) = 0$ となる $\theta$ はただ $1$つであり，$f'(\theta) = 4\alpha > 0$ であるので，$0 < \psi < \displaystyle\frac{\pi}{2}$ であるための必要十分条件は，$f'\displaystyle\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - 2 + \alpha < 0$ が成立することとなります．

よって，求める $\alpha$ の範囲は $\displaystyle 0 < \alpha < 2 - \frac{\pi}{2}$ となります．

感想

見ての通り，難しい問題ではないです．東大受験生にとっては基本的と言っていいです．合格のためには落とせないでしょう．