大学数学基礎解説

【東京大学2021年度入試数学(理系)第6問】ごっつい見かけの平凡な問題

恒等式,大学入試,整式

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東大(理系)の数学最後の問題は整式に関する問題ですが，見かけの割には大した問題ではないです．しかし，答案を書くという点では面倒かもしれません．

問題

定数 $b$ , $c$ , $p$ , $q$ , $r$ に対し，
$x^{4} + b x + c = (x^{2} + p x + q) (x^{2} - p x + r)$
が $x$ についての恒等式であるとする。

$p \neq 0$ であるとき， $q$ , $r$ を $p$ , $b$ で表せ。
$p \neq 0$ とする。 $b$ , $c$ が定数 $a$ を用いて
$\begin{aligned} b & = (a^{2} + 1) (a + 2), & c & = - (a + \frac{3}{4}) (a^{2} + 1) \end{aligned}$
と表されているとき，有理数を係数とする $t$ の整式 $f (t)$ , $g (t)$ で
${p^{2} - (a^{2} + 1)} {p^{4} + f (a) p^{2} + g (a)} = 0$
を満たすものを $1$ 組求めよ。
$a$ を整数とする。 $x$ の $4$ 次式
$x^{4} + (a^{2} + 1) (a + 2) x - (a + \frac{3}{4}) (a^{2} + 1)$
が有理数を係数とする2次式の積に因数分解できるような $a$ をすべて求めよ。

解答解説

(1) の解答

この問題は簡単なので落とせません．右辺を展開してまとめて，左辺と係数を比較するだけです．
$右辺 = x^{4} + (q + r - p^{2}) x^{2} + p (r - q) x + q r$
であるので， $p \neq 0$ より
$\begin{aligned} q + r & = p^{2} \dots ① \\ r - q & = \frac{b}{p} \dots ② \\ q r & = c \dots ③ \end{aligned}$
が得られます．このうち，式 ①, ② を使うことで
$\begin{aligned} q & = \frac{1}{2} (p^{2} - \frac{b}{p}), & r & = \frac{1}{2} (p^{2} + \frac{b}{p}) \end{aligned}$
が得られます。

(2) の解答

この問題は (1) の式 ③ を使います．(1) の答えを ③ 代入すると，
$q r = \frac{1}{4} {p^{4} - {(\frac{b}{p})}^{2}} = c すなわち p^{6} - b^{2} = 4 c p^{2}$
が得られます．ここで (1) で得られた $b$ と $c$ の式を代入すると，
$p^{6} - (a^{2} + 1)^{2} (a + 2)^{2} = - (4 a + 3) (a^{2} + 1) p^{2}$
が得られ，これを変形すると
$p^{6} + (4 a + 3) (a^{2} + 1) p^{2} - (a^{2} + 1)^{2} (a + 2)^{2} = 0$
となります．この左辺を因数分解すると
$左辺 = {p^{2} - (a^{2} + 1)} {p^{4} + (a^{2} + 1) p^{2} + (a^{2} + 1) (a + 2)^{2}}$
となるので， $f (t) = t^{2} + 1$ かつ $g (t) = (t^{2} + 1) (t + 2)^{2}$ が求める整式(の一例)となります．

(3) の解答

この問題で注意して欲しいことは，すぐに (2) の事実に飛びつかないことです．与えられた数式を因数分解したときに $(x^{2} + p x + q) (x^{2} - p x + r)$ の形になることを示す必要があります．それがないと大幅な減点は免れないでしょう．

与えられた整式が $2$ 次式の積に因数分解できるとすると， $(x^{2} + p x + q) (x^{2} + p^{'} x + r)$ で表されますが，この式を展開して3次の項を取り出すと $(p + p^{'}) x^{3}$ となり，与えられた整式の $3$ 次の係数が $0$ であることから $p^{'} = - p$ となります．

よって， $(x^{2} + p x + q) (x^{2} + p^{'} x + r)$ に $p^{'} = - p$ を代入して，与えられた式は $(x^{2} + p x + q) (x^{2} - p x + r)$ の形に因数分解できます．

さて，これで $p \neq 0$ である限り (1) と (2) の条件が適用されるので， $p$ は
${p^{2} - (a^{2} + 1)} {p^{4} + (a^{2} + 1) p^{2} + (a^{2} + 1) (a + 2)^{2}} = 0$
を満たします．ここで， $p^{2} > 0$ , $a^{2} + 1 > 0$ , $(a + 2)^{2} ≧ 0$ なので， $p^{4} + (a^{2} + 1) p^{2} + (a^{2} + 1) (a + 2)^{2} > 0$ となります．よって， $p^{2} = a^{2} + 1$ となり， $(p + a) (p - a) = 1$ が得られます．

$a$ は整数なので $p^{2} = a^{2} + 1$ も整数です． $p$ は有理数であるので $p$ 自身も整数となり， $p + a = p - a = \pm 1$ となります．よって、 $p = \pm 1$ かつ $a = 0$ が得られ，このとき， $b = 2$ , $c = - 3 / 4$ となり，(1) から $q$ と $r$ も有理数となります．

次に $p = 0$ とします．このとき， $(x^{2} + p x + q) (x^{2} - p x + r)$ の $1$ 次の係数は $p (r - q) = 0$ です．よって， $b = (a^{2} + 1) (a + 2) = 0$ となるので， $a^{2} + 1 > 0$ より $a = - 2$ となります．したがって， $c = q r = 25 / 4$ です．

一方， $(x^{2} + p x + q) (x^{2} - p x + r)$ の2次の係数は $q + r = 0$ であるので， $r = - q$ が成り立ち，これを $q r = 25 / 4$ に代入すると $- q^{2} = 25 / 4$ すなわち $q^{2} = - 25 / 4$ が得られ，条件を満たす実数 $q$ は存在しません．