【東京大学2021年度入試数学(理系)第6問】ごっつい見かけの平凡な問題

東大(理系)の数学最後の問題は整式に関する問題ですが，見かけの割には大した問題ではないです．しかし，答案を書くという点では面倒かもしれません．

問題

定数 $b$, $c$, $p$, $q$, $r$ に対し，
\begin{equation} x^4 + bx + c = (x^2 + px + q)(x^2 - px + r) \end{equation}
が $x$ についての恒等式であるとする。

$p \ne 0$ であるとき，$q$, $r$ を $p$, $b$ で表せ。
$p \ne 0$ とする。$b$, $c$ が定数 $a$ を用いて
\begin{align} b &= (a^2 + 1)(a + 2),& c &= - \left(a + \frac{3}{4}\right)(a^2 + 1) \end{align}
と表されているとき，有理数を係数とする $t$ の整式 $f(t)$, $g(t)$ で
\begin{equation} 　　　\{p^2 - (a^2 + 1)\}\{p^4 + f(a) p^2 + g(a)\} = 0 \end{equation}
を満たすものを $1$組求めよ。
$a$ を整数とする。$x$ の $4$次式
\begin{equation} 　　　x^4 + (a^2 + 1)(a+2) x - \left(a + \frac{3}{4}\right)(a^2 + 1) \end{equation}
が有理数を係数とする2次式の積に因数分解できるような $a$ をすべて求めよ。

解答解説

(1) の解答

この問題は簡単なので落とせません．右辺を展開してまとめて，左辺と係数を比較するだけです．
\begin{equation} 　　　\mbox{右辺} = x^4 + (q + r - p^2) x^2 + p(r - q) x + qr \end{equation}
であるので，$p \ne 0$ より
\begin{align} q + r &= p^2　　\cdots ①\\ r - q &= \frac{b}{p}　　\cdots ②\\ qr &= c　　　\cdots ③ \end{align}
が得られます．このうち，式 ①, ② を使うことで
\begin{align} q &= \frac{1}{2}\left(p^2-\frac{b}{p}\right),& r &= \frac{1}{2}\left(p^2 + \frac{b}{p}\right) \end{align}
が得られます。

(2) の解答

この問題は (1) の式 ③ を使います．(1) の答えを ③ 代入すると，
\begin{equation} 　　　qr = \frac{1}{4}\left\{p^4 - \left(\frac{b}{p}\right)^2\right\} = c\mbox{ すなわち } p^6 - b^2 = 4c p^2 \end{equation}
が得られます．ここで (1) で得られた $b$ と $c$ の式を代入すると，
\begin{equation} 　　　p^6 - (a^2 + 1)^2 (a + 2)^2 = - (4a + 3)(a^2 + 1)p^2 \end{equation}
が得られ，これを変形すると
\begin{equation} 　　　p^6 + (4a + 3)(a^2 + 1)p^2 - (a^2 + 1)^2 (a + 2)^2 = 0 \end{equation}
となります．この左辺を因数分解すると
\begin{equation} 　　　\mbox{左辺} = \{p^2 - (a^2 + 1)\}\{p^4 + (a^2 + 1)p^2 + (a^2 + 1)(a + 2)^2\} \end{equation}
となるので，$f(t) = t^2 + 1$ かつ $g(t) = (t^2 + 1)(t + 2)^2$ が求める整式(の一例)となります．

(3) の解答

この問題で注意して欲しいことは，すぐに (2) の事実に飛びつかないことです．与えられた数式を因数分解したときに $(x^2 + px + q)(x^2 - px + r)$ の形になることを示す必要があります．それがないと大幅な減点は免れないでしょう．

与えられた整式が $2$次式の積に因数分解できるとすると，$(x^2 + px + q)(x^2 +p'x + r)$ で表されますが，この式を展開して3次の項を取り出すと $(p + p') x^3$ となり，与えられた整式の $3$次の係数が $0$ であることから $p' = -p$ となります．

よって，$(x^2 + px + q)(x^2 +p'x + r)$ に $p' = -p$ を代入して，与えられた式は $(x^2 + px + q)(x^2 -px + r)$ の形に因数分解できます．

さて，これで $p \ne 0$ である限り (1) と (2) の条件が適用されるので，$p$ は
\begin{equation} 　　　\{p^2 - (a^2 + 1)\}\{p^4 + (a^2 + 1)p^2 + (a^2 + 1)(a + 2)^2\} = 0 \end{equation}
を満たします．ここで，$p^2 > 0$, $a^2 + 1 > 0$, $(a+2)^2 ≧ 0$ なので，$p^4 + (a^2 + 1)p^2 + (a^2 + 1)(a + 2)^2 > 0$ となります．よって，$p^2 = a^2 + 1$ となり，$(p+a)(p-a) = 1$ が得られます．

$a$ は整数なので $p^2=a^2+1$ も整数です．$p$ は有理数であるので $p$ 自身も整数となり，$p + a = p - a = \pm 1$ となります．よって、$p = \pm 1$ かつ $a = 0$ が得られ，このとき，$b = 2$, $c = -3/4$ となり，(1) から $q$ と $r$ も有理数となります．

次に $p = 0$ とします．このとき，$(x^2 + px + q)(x^2 - px + r)$ の $1$次の係数は $p(r-q) = 0$ です．よって，$b = (a^2 + 1)(a + 2) = 0$ となるので，$a^2 + 1 > 0$ より $a = -2$ となります．したがって，$c = qr = 25/4$ です．

一方，$(x^2 + px + q)(x^2 - px + r)$ の2次の係数は $q + r = 0$ であるので，$r = -q$ が成り立ち，これを $qr = 25/4$ に代入すると $-q^2 = 25/4$ すなわち $q^2 = -25/4$ が得られ，条件を満たす実数 $q$ は存在しません．

以上のことから，条件を満たす $a$ は $a = 0$ のみとなります。