【東京大学2021年度入試数学(文系)第1問】正面突破の極大値・極小値問題

東大(理系)の数学が終わったので，次は東大(文科)の問題を取り上げます．

問題

$a$ を正の実数とする。座標平面上の曲線 $C$ を $y = ax^3 - 2x$ で定める。原点を中心とする半径 $1$ の円と $C$ の共有点が $6$ 個であるような $a$ の範囲を求めよ。

解答解説

まずは素直に $y = ax^3 - 2x$ を円の方程式 $x^2 + y^2 = 1$ に代入してみます．すると，$x^2 + (ax^3 - 2x)^2 = 1$ すなわち $a^2x^6 - 4ax^4 + 5x^2 - 1 = 0$が得られます．この $x$ の $6$次方程式が $6$ つの異なる実数解を持つ条件を求めればよいので，調べてみます．

$f(x) = a^2x^6 - 4ax^4 + 5x^2 - 1$ の増減表書いて何とかならないかなぁ…と考えてますが，その前に $x$ の $5$次方程式 $f'(x) = 0$ の解が求まるかが焦点でしたが…

$f(x)$ を $x$ で微分すると
\begin{align} f'(x) &= 6a^2x^5 - 16ax^3 + 10x\\ &= 2x(3a^2x^4 - 8ax^2 + 5)\\ &= 2x(3ax^2 - 5)(ax^2 - 1) \end{align}
が得られます．すばらしい！こうなればこっちのものです．

$a > 0$ より，$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めると $\displaystyle x = 0, \pm\sqrt{\frac{5}{3a}}, \pm\sqrt{\frac{1}{a}}$ となります．以下の増減表のとおり，$f(x) = 0$ が異なる $6$ 個の実数解を持つための必要十分条件は，$\displaystyle f\left(\pm\sqrt{\frac{5}{3a}}\right)<0$ かつ $\displaystyle f\left(\pm\sqrt{\frac{1}{a}}\right)>0$ (かつ $f(0) = -1<0$) となることなので，そのときの $a$ の条件を求めます．

$x$	$-\infty$		$-\sqrt{\frac{5}{3a}}$		$-\sqrt{\frac{1}{a}}$		$0$		$\sqrt{\frac{1}{a}}$		$\sqrt{\frac{5}{3a}}$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$+\infty$	$\searrow$	$\frac{50-27a}{27a}$	$\nearrow$	$\frac{2-a}{a}$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$\frac{2-a}{a}$	$\searrow$	$\frac{50-27a}{27a}$	$\nearrow$	$+\infty$

\begin{align} f\left(\pm\sqrt{\frac{5}{3a}}\right) &= a^2\left(\frac{5}{3a}\right)^3 - 4a\left(\frac{5}{3a}\right)^2 + 5\left(\frac{5}{3a}\right) -1\\ &= \frac{125 - 300 + 225 - 27a}{27a}\\ &= \frac{50 - 27a}{27a} < 0 \end{align}
より $a > \displaystyle\frac{50}{27}$ が得られ，
\begin{align} f\left(\pm\sqrt{\frac{1}{a}}\right) &= a^2\left(\frac{1}{a}\right)^3 - 4a\left(\frac{1}{a}\right)^2 + 5\left(\frac{1}{a}\right) -1\\ &= \frac{1 - 4 + 5 - a}{a}\\ &= \frac{2 - a}{a} > 0 \end{align}
より $(0<)a < 2$ が得られます．

以上のことから $\displaystyle\frac{50}{27} < a < 2$ となります．