【東京大学2021年度入試数学(文系)第1問】正面突破の極大値・極小値問題

東大(理系)の数学が終わったので，次は東大(文科)の問題を取り上げます．

問題

解答解説

まずは素直に $y = ax^3 - 2x$ を円の方程式 $x^2 + y^2 = 1$ に代入してみます．すると，$x^2 + (ax^3 - 2x)^2 = 1$ すなわち $a^2x^6 - 4ax^4 + 5x^2 - 1 = 0$が得られます．この $x$ の $6$次方程式が $6$ つの異なる実数解を持つ条件を求めればよいので，調べてみます．

$f(x) = a^2x^6 - 4ax^4 + 5x^2 - 1$ の増減表書いて何とかならないかなぁ…と考えてますが，その前に $x$ の $5$次方程式 $f'(x) = 0$ の解が求まるかが焦点でしたが…

$f(x)$ を $x$ で微分すると
\begin{align} f'(x) &= 6a^2x^5 - 16ax^3 + 10x\\ &= 2x(3a^2x^4 - 8ax^2 + 5)\\ &= 2x(3ax^2 - 5)(ax^2 - 1) \end{align}
が得られます．すばらしい！こうなればこっちのものです．

$a > 0$ より，$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めると $\displaystyle x = 0, \pm\sqrt{\frac{5}{3a}}, \pm\sqrt{\frac{1}{a}}$ となります．以下の増減表のとおり，$f(x) = 0$ が異なる $6$ 個の実数解を持つための必要十分条件は，$\displaystyle f\left(\pm\sqrt{\frac{5}{3a}}\right)<0$ かつ $\displaystyle f\left(\pm\sqrt{\frac{1}{a}}\right)>0$ (かつ $f(0) = -1<0$) となることなので，そのときの $a$ の条件を求めます．

\begin{align} f\left(\pm\sqrt{\frac{5}{3a}}\right) &= a^2\left(\frac{5}{3a}\right)^3 - 4a\left(\frac{5}{3a}\right)^2 + 5\left(\frac{5}{3a}\right) -1\\ &= \frac{125 - 300 + 225 - 27a}{27a}\\ &= \frac{50 - 27a}{27a} < 0 \end{align}
より $a > \displaystyle\frac{50}{27}$ が得られ，
\begin{align} f\left(\pm\sqrt{\frac{1}{a}}\right) &= a^2\left(\frac{1}{a}\right)^3 - 4a\left(\frac{1}{a}\right)^2 + 5\left(\frac{1}{a}\right) -1\\ &= \frac{1 - 4 + 5 - a}{a}\\ &= \frac{2 - a}{a} > 0 \end{align}
より $(0<)a < 2$ が得られます．

以上のことから $\displaystyle\frac{50}{27} < a < 2$ となります．

感想

ちょっとごつごつしているように見えるかもしれませんが，実際には正面突破で計算すると楽でした．$f'(x)$ は5次式ですが上記の通り簡単に因数分解できます．見かけにごまかされないことが大事です．

この方針は真っ先に考えることだと思うので，だまされなければ多くの受験生がこの方針で解くことが出来たのではないかと思います．