【東京大学2021年度入試数学(文系)第1問】正面突破の極大値・極小値問題

東大(理系)の数学が終わったので，次は東大(文科)の問題を取り上げます．

問題

$a$ を正の実数とする。座標平面上の曲線 $C$ を $y = a x^{3} - 2 x$ で定める。原点を中心とする半径 $1$ の円と $C$ の共有点が $6$ 個であるような $a$ の範囲を求めよ。

解答解説

まずは素直に $y = a x^{3} - 2 x$ を円の方程式 $x^{2} + y^{2} = 1$ に代入してみます．すると， $x^{2} + (a x^{3} - 2 x)^{2} = 1$ すなわち $a^{2} x^{6} - 4 a x^{4} + 5 x^{2} - 1 = 0$ が得られます．この $x$ の $6$ 次方程式が $6$ つの異なる実数解を持つ条件を求めればよいので，調べてみます．

$f (x) = a^{2} x^{6} - 4 a x^{4} + 5 x^{2} - 1$ の増減表書いて何とかならないかなぁ…と考えてますが，その前に $x$ の $5$ 次方程式 $f^{'} (x) = 0$ の解が求まるかが焦点でしたが…

$f (x)$ を $x$ で微分すると
$\begin{aligned} f^{'} (x) & = 6 a^{2} x^{5} - 16 a x^{3} + 10 x \\ = 2 x (3 a^{2} x^{4} - 8 a x^{2} + 5) \\ = 2 x (3 a x^{2} - 5) (a x^{2} - 1) \end{aligned}$
が得られます．すばらしい！こうなればこっちのものです．

$a > 0$ より， $f^{'} (x) = 0$ となる $x$ を求めると $x = 0, \pm \sqrt{\frac{5}{3 a}}, \pm \sqrt{\frac{1}{a}}$ となります．以下の増減表のとおり， $f (x) = 0$ が異なる $6$ 個の実数解を持つための必要十分条件は， $f (\pm \sqrt{\frac{5}{3 a}}) < 0$ かつ $f (\pm \sqrt{\frac{1}{a}}) > 0$ (かつ $f (0) = - 1 < 0$ ) となることなので，そのときの $a$ の条件を求めます．

$x$	$- \infty$		$- \sqrt{\frac{5}{3 a}}$		$- \sqrt{\frac{1}{a}}$		$0$		$\sqrt{\frac{1}{a}}$		$\sqrt{\frac{5}{3 a}}$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$	$+ \infty$	$↘$	$\frac{50 - 27 a}{27 a}$	$↗$	$\frac{2 - a}{a}$	$↘$	$- 1$	$↗$	$\frac{2 - a}{a}$	$↘$	$\frac{50 - 27 a}{27 a}$	$↗$	$+ \infty$

$\begin{aligned} f (\pm \sqrt{\frac{5}{3 a}}) & = a^{2} {(\frac{5}{3 a})}^{3} - 4 a {(\frac{5}{3 a})}^{2} + 5 (\frac{5}{3 a}) - 1 \\ = \frac{125 - 300 + 225 - 27 a}{27 a} \\ = \frac{50 - 27 a}{27 a} < 0 \end{aligned}$
より $a > \frac{50}{27}$ が得られ，
$\begin{aligned} f (\pm \sqrt{\frac{1}{a}}) & = a^{2} {(\frac{1}{a})}^{3} - 4 a {(\frac{1}{a})}^{2} + 5 (\frac{1}{a}) - 1 \\ = \frac{1 - 4 + 5 - a}{a} \\ = \frac{2 - a}{a} > 0 \end{aligned}$
より $(0 <) a < 2$ が得られます．