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Σ1/2^(n^2)が無理数であることの証明

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https://twitter.com/tria_math/status/1391065311827226627?s=19
このツイートの問題の証明を2つ紹介したいと思います。

問題
$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{n^2}}$が無理数であることを示せ。

$\displaystyle x=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{n^2}}$とおきます。

1つ目は短い証明です。

(証明1)
$x$が有理数であるとき循環小数(有限小数の場合は$0$が循環すると見做す)となるが、$x$$2$進法において明らかに循環しないので無理数である。

2つ目は、$nx$の小数部分がいくらでも小さくできることから$x$が無理数であることを示すというよくある手法を使います。

(証明2)
$x$が有理数であると仮定し$\displaystyle x=\frac{n}{m}$$(m>0)$とおく。
このとき、$2^{k^2}x$の小数部分は$0$でないので$\displaystyle\frac{1}{m}$以上であるが、$k$が十分大きいときに矛盾する。

(余談)
証明1の方法は$n^2$の部分を色々変えて遊べますね。

投稿日:202158

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