Σ1/2^(n^2)が無理数であることの証明

https://twitter.com/tria_math/status/1391065311827226627?s=19
このツイートの問題の証明を2つ紹介したいと思います。

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n^2}}}$とおきます。

1つ目は短い証明です。

2つ目は、$nx$の小数部分がいくらでも小さくできることから$x$が無理数であることを示すというよくある手法を使います。

(余談)
証明1の方法は$n^2$の部分を色々変えて遊べますね。