積分の技法演習問題2の解説

\begin{align*} \int_0^{\infty} \frac{xe^x}{\sinh x \cosh x} dx~=~? \end{align*}

解説
\begin{align*} &\int_0^{\infty} \frac{xe^x}{\sinh x \cosh x} dx \\ &= 4\int_0^{\infty} \frac{xe^x}{(e^x - e^{-x})(e^x + e^{-x})} dx\\ &=2\int_0^{\infty} x\left( \frac{1}{e^x - e^{-x}} + \frac{1}{e^x + e^{-x}} \right) dx \\ &= 2\int_0^{\infty} \frac{xe^{-x}}{1-e^{-2x}}dx + 2\int_0^{\infty} \frac{xe^{-x}}{1+e^{-2x}}dx \\ &=\frac12 \int_0^{\infty} \frac{t e^{-\frac{t}{2}}}{1-e^{-t}} dt + 2\beta(2)\Gamma(2)&(*1) \\ &=\frac12 \psi^{(1)}\left(\frac12\right) + 2G&(*2)\\ &=\frac{\pi^2}{4} + 2G&\left(*3\right) \end{align*}

$ (*1)\textrm{Dirichlet beta}の積分表示\\ (*2)ポリガンマ関数の積分表示，\beta(2)=G\\ (*3)\psi^{(1)}\left(\frac12\right)=\frac{\pi^2}{2} $

投稿日：2020年11月7日