<div 
style="padding: 0.5em 1em;
		 margin: 2em 0; 
		 background: white; 
		 border-top: solid 5px #A9EB8D; 
		 box-shadow: 0 3px 5px rgba(0, 0, 0, 0.22)">
\begin{align*}
\TextCenter \int_0^{\infty} \frac{xe^x}{\sinh x \cosh x} dx~=~?
\end{align*}
</div>


<div 
style="position: relative; 
		margin: 2em auto; 
		padding: 1.2em; 
		width: 90%; 
		color: ; 
		background-color: #F5F8FA; 
		border: 5px solid #A9EB8D">
	<span 
	style="font-weight: bold; 
			font-size: 1.2rem; 
			position: absolute; 
			padding: 0 .5em; 
			left: 20px; 
			top: -15px; 
			color: #999999; 
			background-color: #F5F8FA">解説</span>
	\begin{align*}
    	\TextCenter	&\int_0^{\infty} \frac{xe^x}{\sinh x \cosh x} dx \\
        &= 4\int_0^{\infty} \frac{xe^x}{(e^x - e^{-x})(e^x + e^{-x})} dx\\
    	&=2\int_0^{\infty} x\left( \frac{1}{e^x - e^{-x}} + \frac{1}{e^x + e^{-x}} \right) dx \\
    	&= 2\int_0^{\infty} \frac{xe^{-x}}{1-e^{-2x}}dx + 2\int_0^{\infty} \frac{xe^{-x}}{1+e^{-2x}}dx \\
    	&=\frac12 \int_0^{\infty} \frac{t e^{-\frac{t}{2}}}{1-e^{-t}} dt + 2\beta(2)\Gamma(2)&(*1) \\
        &=\frac12 \psi^{(1)}\left(\frac12\right) + 2G&(*2)\\
        &=\frac{\pi^2}{4} + 2G&\left(*3\right)
	\end{align*}
</div>

$
(*1)\textrm{Dirichlet beta}の積分表示\\
(*2)ポリガンマ関数の積分表示，\beta(2)=G\\
(*3)\psi^{(1)}\left(\frac12\right)=\frac{\pi^2}{2}
$

積分の技法演習問題2の解説

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