【京都大学2021年度前期入試数学(理系)第1問】基本的な小問集

(以下は3/9にnote.comにアップした記事です．)

さて、今日から京都大学入試の数学(理系)を取り上げたいと思います．最後の問題はですでに取り上げているので，全5回となります．

問題

(注) 当日訂正が入ったようで，問2 は $n\geqq 4$ とします．

解答解説

どちらも難しくはありません．サクサクと解きましょう．

問1 の解答

まず 平面 $\alpha$ の方程式を求めると，3点 A, B, C は $\alpha$ の $x$切片, $y$切片, $z$切片なので，$\displaystyle \frac{x}{1}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{2}=1$ すなわち $2x - 2y + z = 2$ となります．したがって，$\alpha$ の法線ベクトルは $(2, -2, 1)$ となります．

直線 PQ は 平面 $\alpha$ に垂直であるので，点 Q の座標 $(a, b, c)$ は 実数 $t$ を用いて $(a,b,c) = (1,1,1) + 2t(2,-2,1)$ とおくことができ，点 M の座標は $\displaystyle\left(\frac{a+1}{2}, \frac{b+1}{2}, \frac{c+1}{2}\right) = (1+2t, 1-2t, 1+t)$ と表されます。

点 M は平面 $\alpha$ 上の点であるので，$2(1+2t) - 2(1-2t) + (1+t) = 2$ すなわち $9t = 1$ すなわち $t = \displaystyle\frac{1}{9}$ となります．よって，点 Q の座標は $\displaystyle(1,1,1)+\frac{2}{9}(2,-2,1)=\left(\frac{13}{9}, \frac{5}{9}, \frac{11}{9}\right)$ となります．

問2 の解答

$n-1$ 回目までの試行で赤玉以外の $3$種類の玉が全て出ている確率を求めることとほぼ同値となります: 実際には $n$回目の試行で赤玉が出る確率をかける必要がありますが．

• $n-1$回目まで白玉のみが出る場合の数は $1$通り．青玉も黄玉も同様に $1$通り．
• $n-1$回目までに白玉と青玉のちょうど $2$種類がでる場合の数は $2^{n-1} - 2$ 通り．白玉と黄玉、青玉と黄玉の組合せでも $2^{n-1} - 2$通り．

したがって，$n-1$回目までの試行で赤玉以外の3種類の玉がすべて出る場合の数は $3^{n-1} - 3 \times (2^{n-1} - 2) - 3 \times 1 = 3^{n-1} - 3 × 2^{n-1} + 3$ となるので、求める確率は $\displaystyle\frac{3^{n-1} - 3 × 2^{n-1} + 3}{4^n}$ となります．

感想

全く別分野の問題がごちゃ混ぜになっていますが，どちらも基本的な問題なので，他の問題を見ずに真っ先に解いていいですし，10～15分で完答したい問題です．

逆にそれくらいで解けないようでしたら京大を受ける資格はありません．

そのくらいガチの基本問題です．教科書レベルの演習問題と言ってもいい．逆に何かあるのではと疑いたくなるくらいに易しいです．

ひとつだけ，Q の座標を $(a,b,c) = (1,1,1) + 2t(2,-2,1)$ として，ベクトル $(2,-2,1)$ の係数を $t$ ではなく $2t$ としているのは，そのあとで中点 M を求めるときに式がきれいになるからです．

方向ベクトルを $t$ 倍しようが $2t$ 倍しようが構わない話で，この辺りの細かいことを知っていると式がきれいになって計算がしやすくなります．

それ以外は工夫らしい工夫も必要ありませんでした．