【京都大学2021年度前期入試数学(理系)第1問】基本的な小問集

(以下は3/9にnote.comにアップした記事です．)

さて、今日から京都大学入試の数学(理系)を取り上げたいと思います．最後の問題はですでに取り上げているので，全5回となります．

問題

次の各問に答えよ．

問1 $xyz$ 空間の 3点 A$(1,0,0)$, B$(0,-1,0)$, C$(0,0,2)$ を通る平面 $\alpha$ に関して点 $(1,1,1)$ と対称な点 Q の座標を求めよ．ただし，点 Q が平面 $\alpha$ に関して対称であるとは，線分 PQ の中点 M が平面 $\alpha$ 上にあり，直線 PM が P から平面 $\alpha$ に下ろした垂線となることである．

問2 赤玉，白玉，青玉，黄玉が $14$個ずつ入った袋がある．よくかきまぜた後に袋から球を $1$個取り出し，その玉の色を記録してから袋に戻す．この試行を繰り返すとき，$n$ 回目の試行で初めて赤玉が取り出されて $4$種類全ての色が記録済みとなる確率を求めよ．

(注) 当日訂正が入ったようで，問2 は $n\geqq 4$ とします．

解答解説

どちらも難しくはありません．サクサクと解きましょう．

問1 の解答

まず平面 $\alpha$ の方程式を求めると，3点 A, B, C は $\alpha$ の $x$切片, $y$切片, $z$切片なので，$\displaystyle \frac{x}{1}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{2}=1$ すなわち $2x - 2y + z = 2$ となります．したがって，$\alpha$ の法線ベクトルは $(2, -2, 1)$ となります．

直線 PQ は平面 $\alpha$ に垂直であるので，点 Q の座標 $(a, b, c)$ は実数 $t$ を用いて $(a,b,c) = (1,1,1) + 2t(2,-2,1)$ とおくことができ，点 M の座標は $\displaystyle\left(\frac{a+1}{2}, \frac{b+1}{2}, \frac{c+1}{2}\right) = (1+2t, 1-2t, 1+t)$ と表されます。

点 M は平面 $\alpha$ 上の点であるので，$2(1+2t) - 2(1-2t) + (1+t) = 2$ すなわち $9t = 1$ すなわち $t = \displaystyle\frac{1}{9}$ となります．よって，点 Q の座標は $\displaystyle(1,1,1)+\frac{2}{9}(2,-2,1)=\left(\frac{13}{9}, \frac{5}{9}, \frac{11}{9}\right)$ となります．

問2 の解答

$n-1$ 回目までの試行で赤玉以外の $3$種類の玉が全て出ている確率を求めることとほぼ同値となります: 実際には $n$回目の試行で赤玉が出る確率をかける必要がありますが．

$n-1$回目まで白玉のみが出る場合の数は $1$通り．青玉も黄玉も同様に $1$通り．
$n-1$回目までに白玉と青玉のちょうど $2$種類がでる場合の数は $2^{n-1} - 2$ 通り．白玉と黄玉、青玉と黄玉の組合せでも $2^{n-1} - 2$通り．

したがって，$n-1$回目までの試行で赤玉以外の3種類の玉がすべて出る場合の数は $3^{n-1} - 3 \times (2^{n-1} - 2) - 3 \times 1 = 3^{n-1} - 3 × 2^{n-1} + 3$ となるので、求める確率は $\displaystyle\frac{3^{n-1} - 3 × 2^{n-1} + 3}{4^n}$ となります．