【京都大学2021年度前期入試数学(理系)第2問】放物線と接線の基本的な問題

今回は京都大学(理系)の第2回です．タイトルの通り，放物線と接線の問題です．超が付くほど簡単です．

問題

解答解説

$f(x) = \displaystyle\frac{1}{2}(x^2 + 1)$ とおくと、$f'(x) = x$ であり，点 P の座標を $(t, f(t))$ とおくと，点 P における $y = f(x)$ の接線の方程式は $y = t(x-t) + \displaystyle\frac{t^2+1}{2}$ で表すことができます．

したがって，接線と $x$軸が交わるときの $x$ の値すなわち $x$ 切片は $t(x-t) + \displaystyle\frac{t^2+1}{2} = 0$ より $x = \displaystyle\frac{t^2-1}{2t} = \frac{t}{2} - \frac{1}{2t}$ となります．ただし，$x$ 軸と交わるための条件は $t \ne 0$ となります．

ここで，$L^2$ を求めると，
\begin{equation} 　　L^2 = \left(\frac{t}{2} + \frac{1}{2t}\right)^2 + \frac{(t^2 + 1)^2}{4} = \frac{(t^2+1)^2+t^2(t^2+1)^2}{4t^2} = \frac{(t^2 + 1)^3}{4t^2} \end{equation}
となります．

さて，$L \geqq 0$ であるため，$L$ が最小となることと $L^2$ が最小となることは同値であるため，$L^2$ の最小値を求めます．

$L^2$ の右辺の $t^2$ を $s$ でおき，$g(s)$ で表すと，$g(s) = \displaystyle\frac{(s+1)^3}{4s}$ となります．ただし，$t \ne 0$ より $s > 0$ です．
\begin{equation} 　　　g'(s) = \frac{3s(s+1)^2 - (s+1)^3}{4s^2} = \frac{(2s-1)(s+1)^2}{4s^2} \end{equation}
であるので、$g(s)$ は $s=\displaystyle\frac{1}{2}$ のときに最小となり，$\displaystyle g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{27}{16}$ となります．よって，$L$ は $t = \displaystyle\pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$ のときに最小となり，最小値は $\displaystyle\sqrt{\frac{27}{16}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$ となります．

感想

第1問に引き続き，この問題も簡単です．迷わず解いてください．基本問題．

京都大学どうしちゃったのでしょう？いくら新型コロナで配慮したと言っても，こんな簡単な問題ばかりでは解けない受験生を探す方が大変です．