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【京都大学2021年度前期入試数学(理系)第2問】放物線と接線の基本的な問題

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今回は京都大学(理系)の第2回です.タイトルの通り,放物線と接線の問題です.超が付くほど簡単です.

問題

曲線 $y = \displaystyle\frac{1}{2}(x^2 + 1)$ 上の点 P における接線は $x$ 軸と交わるとし,その交点を Q とおく.線分 PQ の長さを $L$ とするとき,$L$ が取りうる値の最小値を求めよ.

解答解説

$f(x) = \displaystyle\frac{1}{2}(x^2 + 1)$ とおくと、$f'(x) = x$ であり,点 P の座標を $(t, f(t))$ とおくと,点 P における $y = f(x)$ の接線の方程式は $y = t(x-t) + \displaystyle\frac{t^2+1}{2}$ で表すことができます.

したがって,接線と $x$軸が交わるときの $x$ の値すなわち $x$ 切片は $t(x-t) + \displaystyle\frac{t^2+1}{2} = 0$ より $x = \displaystyle\frac{t^2-1}{2t} = \frac{t}{2} - \frac{1}{2t}$ となります.ただし,$x$ 軸と交わるための条件は $t \ne 0$ となります.

ここで,$L^2$ を求めると,
\begin{equation}   L^2 = \left(\frac{t}{2} + \frac{1}{2t}\right)^2 + \frac{(t^2 + 1)^2}{4} = \frac{(t^2+1)^2+t^2(t^2+1)^2}{4t^2} = \frac{(t^2 + 1)^3}{4t^2} \end{equation}
となります.

さて,$L \geqq 0$ であるため,$L$ が最小となることと $L^2$ が最小となることは同値であるため,$L^2$ の最小値を求めます.

$L^2$ の右辺の $t^2$$s$ でおき,$g(s)$ で表すと,$g(s) = \displaystyle\frac{(s+1)^3}{4s}$ となります.ただし,$t \ne 0$ より $s > 0$ です.
\begin{equation}    g'(s) = \frac{3s(s+1)^2 - (s+1)^3}{4s^2} = \frac{(2s-1)(s+1)^2}{4s^2} \end{equation}
であるので、$g(s)$$s=\displaystyle\frac{1}{2}$ のときに最小となり,$\displaystyle g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{27}{16}$ となります.よって,$L$$t = \displaystyle\pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$ のときに最小となり,最小値は $\displaystyle\sqrt{\frac{27}{16}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$ となります.

$s$$0$$\displaystyle\frac{1}{2}$
$g'(s)$$-$$0$$+$
$g(s)$$\searrow$$\displaystyle\frac{27}{16}$ (最小)$\nearrow$

感想

第1問に引き続き,この問題も簡単です.迷わず解いてください.基本問題.

京都大学どうしちゃったのでしょう?いくら新型コロナで配慮したと言っても,こんな簡単な問題ばかりでは解けない受験生を探す方が大変です.

投稿日:202159

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投稿者

名前はトムヤムクン(TomYumGoong)と読みます.仕事で数学を使う電子・情報系人間.塾講師とは違った立場で気楽に,主に中学入試の算数と大学入試の数学の問題を眺めていこうと思っています.

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