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【京都大学2021年度前期入試数学(理系)第3問】無限級数の和を求める問題

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京都大学(理系)の第3回です.タイトルの通り,無限級数の和を求める問題ですが,計算が面倒なだけで難しくはないです.

問題

無限級数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{n} \cos \left(\frac{nπ}{6}\right)$ の和を求めよ.

解答解説

$\displaystyle\cos \left(\frac{nπ}{6}\right)$ の値は次のようになります.ただし,$k$ は任意の整数です.
\begin{equation}    \cos \left(\frac{nπ}{6}\right) =\begin{cases} 1&n=12k\mbox{のとき}\\ \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}&n=12k\pm 1\mbox{のとき}\\ \displaystyle\frac{1}{2}&n=12k\pm 2\mbox{のとき}\\ 0&n=12k\pm 3\mbox{のとき}\\ \displaystyle -\frac{1}{2}&n=12k\pm 4\mbox{のとき}\\ \displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2}&n=12k\pm 5\mbox{のとき}\\ -1&n=12k\pm 6\mbox{のとき} \end{cases} \end{equation}

任意の自然数 $N$ に対して
\begin{equation}    S(N)=\sum_{n=0}^{N} \left(\frac{1}{2}\right)^{n} \cos \left(\frac{nπ}{6}\right) \end{equation}
とおき,$N$$12$ で割った商を $q$, 余りを $r$ とおくと,
\begin{align} S(N)&=\sum_{m=0}^{q-1}\sum_{l=0}^{11}\left(\frac{1}{2}\right)^{12m+l}\cos\frac{(12m+l)\pi}{6}+\sum_{l=0}^{r}\left(\frac{1}{2}\right)^{12q+l}\cos\frac{(12p+l)\pi}{6}\\ &=\sum_{m=0}^{q-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{12m}\sum_{l=0}^{11}\left(\frac{1}{2}\right)^{l}\cos\frac{\pi l}{6}+\left(\frac{1}{2}\right)^{12q}\sum_{l=0}^{r}\left(\frac{1}{2}\right)^{l}\cos\frac{\pi l}{6} \end{align}
と表すことができます.ここで,$q$ は非負整数,$r$$0$ 以上 $11$ 以下の整数です.

ここで,各$\sum$ を評価すると,
\begin{align} \sum_{m=0}^{q-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{12m} &=\frac{\displaystyle 1-\left(\frac{1}{2}\right)^{12q}}{1-\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^{12}} =\frac{2^{12}(1-2^{-12q})}{2^{12}-1}\\ % \sum_{l=0}^{11}\left(\frac{1}{2}\right)^{l}\cos\frac{\pi l}{6} &=\left(1-\frac{1}{2^6}\right)\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{2^2}+0\times\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2}\times\frac{1}{2^4}-\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{1}{2^5}\right)\\ &=\frac{63}{2^6}\times\left\{\left(1+\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2^5}\right)+\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^6}\right)\sqrt{3}\right\}\\ &=\frac{63(70+15\sqrt{3})}{2^{12}} \end{align}
であり,$-1\leqq \cos\displaystyle\frac{\pi l}{6}\leqq 1$ かつ $\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^{12q+r}\leqq \left(\frac{1}{2}\right)^{12q}$ から
\begin{equation}    -12\left(\frac{1}{2}\right)^{12q} \leqq \sum_{l=0}^{r}\left(\frac{1}{2}\right)^{12q+r}\cos\frac{\pi l}{6} \leqq 12\left(\frac{1}{2}\right)^{12q} \end{equation}
が言えるので,次の不等式が成立します.
\begin{equation}  \frac{14+5\sqrt{3}}{13}\times(1-2^{-12q})-12\cdot 2^{-12q} \leqq S(N) \leqq \frac{14+5\sqrt{3}}{13}\times(1-2^{-12q})+12\cdot 2^{-12q} \end{equation}
$N\to\infty$ のとき $q\to\infty$ であり,このとき $2^{-12q}\to 0$ であることから
\begin{equation}    \lim_{q\to\infty}\left\{\frac{14+5\sqrt{3}}{13}\times(1-2^{-12q})\pm 12\cdot 2^{-12q}\right\}=\frac{14+5\sqrt{3}}{13} \end{equation}
が言えるので,はさみうちの原理より
\begin{equation}    \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{n} \cos \left(\frac{nπ}{6}\right) =\lim_{N\to\infty}S(N)=\frac{14+5\sqrt{3}}{13} \end{equation}
が求まる.

感想

今回はかなりベタな解き方を取っていますが,もし複素関数の知識を使えるのであれば,$\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \cos\left(\frac{n\pi}{6}\right)$ の代わりに $\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \left\{\cos\left(\frac{n\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{n\pi}{6}\right)\right\}=\left(\frac{\sqrt{3}+i}{4}\right)^{n}$ の和を取って,実数部分を抜き出せば簡単に解けます.

実際,等比数列の和は公比が複素数であっても変わらないことに注意すると,
\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \left\{\cos\left(\frac{n\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{n\pi}{6}\right)\right\} &=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{\sqrt{3}+i}{4}\right)^{n}\\ &=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N-1}\left(\frac{\sqrt{3}+i}{4}\right)^{n}\\ &=\lim_{N\to\infty}\frac{1-\displaystyle\left(\frac{\sqrt{3}+i}{4}\right)^{N}}{1-\displaystyle\left(\frac{\sqrt{3}+i}{4}\right)} \end{align}
となり,
\begin{equation}    \lim_{N\to\infty}\left(\frac{\sqrt{3}+i}{4}\right)^{N} =\lim_{N\to\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{N} \left\{\cos\left(\frac{N\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{N\pi}{6}\right)\right\}=0 \end{equation}
であることから,
\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \left\{\cos\left(\frac{n\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{n\pi}{6}\right)\right\} &=\left\{1-\displaystyle\left(\frac{\sqrt{3}+i}{4}\right)\right\}^{-1}\\ &=\frac{4}{(4-\sqrt{3})-i}\\ &=\frac{4(4-\sqrt{3}+i)}{(4-\sqrt{3})^{2}+1} \end{align}
が得られ,この実数部分を取ることによって
\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \cos\left(\frac{n\pi}{6}\right) &=\frac{4(4-\sqrt{3})}{(4-\sqrt{3})^2+1} =\frac{4-\sqrt{3}}{5-2\sqrt{3}}\\ &=\frac{(4-\sqrt{3})(5+2\sqrt{3})}{25-12}=\frac{14+3\sqrt{3}}{13} \end{align}
が求まります.

複素関数の極限

この方法では複素数を底とする指数関数の極限を取っておりますが,学習指導要領ではおそらく範囲外となります.ですので,解答解説は面倒な方法を取りましたが,制限がないのであればこちらの方法を取ると圧倒的に楽なのでおすすめです.しかし,大学側がどこまでを認めているのかが気にかかるところです.

これを知っているならば簡単で,$10$分もあれば解けるでしょう.知らなくても,解答解説のように解けば時間内で終わると思います.計算に自信がない人は時間がかかるかもしれませんが,そのくらいの難しさの問題です.

投稿日:202159

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投稿者

名前はトムヤムクン(TomYumGoong)と読みます.仕事で数学を使う電子・情報系人間.塾講師とは違った立場で気楽に,主に中学入試の算数と大学入試の数学の問題を眺めていこうと思っています.

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