京都大学(理系)の第3回です.タイトルの通り,無限級数の和を求める問題ですが,計算が面倒なだけで難しくはないです.
無限級数
任意の自然数
とおき,
と表すことができます.ここで,
ここで,各
であり,
が言えるので,次の不等式が成立します.
が言えるので,はさみうちの原理より
が求まる.
今回はかなりベタな解き方を取っていますが,もし複素関数の知識を使えるのであれば,
実際,等比数列の和は公比が複素数であっても変わらないことに注意すると,
となり,
であることから,
が得られ,この実数部分を取ることによって
が求まります.
この方法では複素数を底とする指数関数の極限を取っておりますが,学習指導要領ではおそらく範囲外となります.ですので,解答解説は面倒な方法を取りましたが,制限がないのであればこちらの方法を取ると圧倒的に楽なのでおすすめです.しかし,大学側がどこまでを認めているのかが気にかかるところです.
これを知っているならば簡単で,