1

【京都大学2021年度前期入試数学(理系)第3問】無限級数の和を求める問題

1115
0

京都大学(理系)の第3回です.タイトルの通り,無限級数の和を求める問題ですが,計算が面倒なだけで難しくはないです.

問題

無限級数 n=0(12)ncos(nπ6) の和を求めよ.

解答解説

cos(nπ6) の値は次のようになります.ただし,k は任意の整数です.
   cos(nπ6)={1n=12kのとき32n=12k±1のとき12n=12k±2のとき0n=12k±3のとき12n=12k±4のとき32n=12k±5のとき1n=12k±6のとき

任意の自然数 N に対して
   S(N)=n=0N(12)ncos(nπ6)
とおき,N12 で割った商を q, 余りを r とおくと,
S(N)=m=0q1l=011(12)12m+lcos(12m+l)π6+l=0r(12)12q+lcos(12p+l)π6=m=0q1(12)12ml=011(12)lcosπl6+(12)12ql=0r(12)lcosπl6
と表すことができます.ここで,q は非負整数,r0 以上 11 以下の整数です.

ここで,各 を評価すると,
m=0q1(12)12m=1(12)12q1(12)12=212(1212q)2121l=011(12)lcosπl6=(1126)(1+32×12+12×122+0×12312×12432×125)=6326×{(1+123125)+(122126)3}=63(70+153)212
であり,1cosπl61 かつ (12)12q+r(12)12q から
   12(12)12ql=0r(12)12q+rcosπl612(12)12q
が言えるので,次の不等式が成立します.
 14+5313×(1212q)12212qS(N)14+5313×(1212q)+12212q
N のとき q であり,このとき 212q0 であることから
   limq{14+5313×(1212q)±12212q}=14+5313
が言えるので,はさみうちの原理より
   n=0(12)ncos(nπ6)=limNS(N)=14+5313
が求まる.

感想

今回はかなりベタな解き方を取っていますが,もし複素関数の知識を使えるのであれば,(12)ncos(nπ6) の代わりに (12)n{cos(nπ6)+isin(nπ6)}=(3+i4)n の和を取って,実数部分を抜き出せば簡単に解けます.

実際,等比数列の和は公比が複素数であっても変わらないことに注意すると,
n=0(12)n{cos(nπ6)+isin(nπ6)}=n=0(3+i4)n=limNn=0N1(3+i4)n=limN1(3+i4)N1(3+i4)
となり,
   limN(3+i4)N=limN(12)N{cos(Nπ6)+isin(Nπ6)}=0
であることから,
n=0(12)n{cos(nπ6)+isin(nπ6)}={1(3+i4)}1=4(43)i=4(43+i)(43)2+1
が得られ,この実数部分を取ることによって
n=0(12)ncos(nπ6)=4(43)(43)2+1=43523=(43)(5+23)2512=14+3313
が求まります.

複素関数の極限

この方法では複素数を底とする指数関数の極限を取っておりますが,学習指導要領ではおそらく範囲外となります.ですので,解答解説は面倒な方法を取りましたが,制限がないのであればこちらの方法を取ると圧倒的に楽なのでおすすめです.しかし,大学側がどこまでを認めているのかが気にかかるところです.

これを知っているならば簡単で,10分もあれば解けるでしょう.知らなくても,解答解説のように解けば時間内で終わると思います.計算に自信がない人は時間がかかるかもしれませんが,そのくらいの難しさの問題です.

投稿日:202159
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

TomYum君
TomYum君
9
10616
名前はトムヤムクン(TomYumGoong)と読みます.仕事で数学を使う電子・情報系人間.塾講師とは違った立場で気楽に,主に中学入試の算数と大学入試の数学の問題を眺めていこうと思っています.

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中