ハウスドルフ空間内の1点からなる集合は閉集合

$M$の任意の点$a$を固定する。

閉集合の定義より、$M-\{a\}$が$M$の開集合であることを示せばよい。

$M-\{a\}$の任意の点を$x$とする。$x \in M-\{a\}$かつ$a \in M$なので、$x \neq a$であるから、$M$がハウスドルフ空間という仮定より、互いに疎な$x,a$の開近傍がとれる。つまり、

$$ x \in U_x, a \in V_x, U_x \cap V_x = \varnothing $$

を満たす開集合$U_x, V_x$がとれる。なお、$x \in M-\{a\}$をとるごとに上の開近傍は定まるため、その依存性を明示的に$U_x, V_x$と書いている。

特に、$U_x \subset M-\{a\}$であることに注意する。

ここで、上に出てきた$x$の開近傍$U_x$について、$M-\{a\}$の全ての点に関する和集合を考えると、

$$ M-\{a\} = \bigcup_{x \in M-\{a\}} U_x $$

である。

以上より、$M-\{a\}$は開集合$U_x$の和集合で書けるので、位相の定義よりこれは開集合である。

よって、$M-\{a\}$が開集合なので、その補集合の$\{a\}$は閉集合である。