証明に出てくる細かいテクニックがちょっとだけ好きなので書いてみます〜
$(M, \mathcal{O})$: ハウスドルフ空間($\mathcal{O}$は位相)
$a$を$M$の任意の点とするとき、$\{a\}$は$M$の閉集合
$M$の任意の点$a$を固定する。
閉集合の定義より、$M-\{a\}$が$M$の開集合であることを示せばよい。
$M-\{a\}$の任意の点を$x$とする。$x \in M-\{a\}$かつ$a \in M$なので、$x \neq a$であるから、$M$がハウスドルフ空間という仮定より、互いに疎な$x,a$の開近傍がとれる。つまり、
$$ x \in U_x, a \in V_x, U_x \cap V_x = \varnothing $$
を満たす開集合$U_x, V_x$がとれる。なお、$x \in M-\{a\}$をとるごとに上の開近傍は定まるため、その依存性を明示的に$U_x, V_x$と書いている。
特に、$U_x \subset M-\{a\}$であることに注意する。
ここで、上に出てきた$x$の開近傍$U_x$について、$M-\{a\}$の全ての点に関する和集合を考えると、
$$ M-\{a\} = \bigcup_{x \in M-\{a\}} U_x $$
である。
以上より、$M-\{a\}$は開集合$U_x$の和集合で書けるので、位相の定義よりこれは開集合である。
よって、$M-\{a\}$が開集合なので、その補集合の$\{a\}$は閉集合である。
最後の$M-\{a\} = \bigcup_{x \in M-\{a\}} U_x$のように、点に対応する集合を「おりゃぁぁぁ」と合併させるのが豪快でなんか好きなんですよね。実際ちょこちょこ出てきますしね。
おしまい