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大学数学基礎解説
文献あり

ハウスドルフ空間内の1点からなる集合は閉集合

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証明に出てくる細かいテクニックがちょっとだけ好きなので書いてみます〜

(M,O): ハウスドルフ空間(Oは位相)

aMの任意の点とするとき、{a}Mの閉集合

Mの任意の点aを固定する。

閉集合の定義より、M{a}Mの開集合であることを示せばよい。

M{a}の任意の点をxとする。xM{a}かつaMなので、xaであるから、Mがハウスドルフ空間という仮定より、互いに疎なx,aの開近傍がとれる。つまり、

xUx,aVx,UxVx=

を満たす開集合Ux,Vxがとれる。なお、xM{a}をとるごとに上の開近傍は定まるため、その依存性を明示的にUx,Vxと書いている。

特に、UxM{a}であることに注意する。

ここで、上に出てきたxの開近傍Uxについて、M{a}の全ての点に関する和集合を考えると、

M{a}=xM{a}Ux

である。

以上より、M{a}は開集合Uxの和集合で書けるので、位相の定義よりこれは開集合である。

よって、M{a}が開集合なので、その補集合の{a}は閉集合である。

最後のM{a}=xM{a}Uxのように、点に対応する集合を「おりゃぁぁぁ」と合併させるのが豪快でなんか好きなんですよね。実際ちょこちょこ出てきますしね。

おしまい

参考文献

[1]
松坂 和夫, 集合・位相入門
投稿日:202159
OptHub AI Competition

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・雰囲気でプログラマーしてます ・数学できません ・修士号持ってません ・ゲージ理論修めてません ・機械学習できません ・賀茂川が好きです

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