の任意の点を固定する。
閉集合の定義より、がの開集合であることを示せばよい。
の任意の点をとする。かつなので、であるから、がハウスドルフ空間という仮定より、互いに疎なの開近傍がとれる。つまり、
を満たす開集合がとれる。なお、をとるごとに上の開近傍は定まるため、その依存性を明示的にと書いている。
特に、であることに注意する。
ここで、上に出てきたの開近傍について、の全ての点に関する和集合を考えると、
である。
以上より、は開集合の和集合で書けるので、位相の定義よりこれは開集合である。
よって、が開集合なので、その補集合のは閉集合である。