形式的冪級数環に関するHilbertの基底定理

形式的冪級数$f=a_r{x}^r+a_{r+1}{x}^{r+1}+\dots ,a_r\ne 0$に対し，$r$を$f$の次数，$a_r$を先頭係数と呼ぶことにする．

$I\subseteq A[[x]]$を任意のイデアルとし，$I$が有限生成であることを示す．$I=(0)$のときは明らかであるから，$I\ne (0)$とする．$f_1\in I$を，$0$でない元のうち次数が最小になるようにとる．各$i\in \mathbb{N}$に対し，$f_i$の次数を$d_i$，先頭係数を$a_i$とし，次の条件に従って$f_i$を帰納的に定める：
1.  $f_{i+1}\in I$
2.  $a_{i+1}\in A\mathrm{\setminus }(a_1,\dots ,a_i)$
3.  $f_{i+1}$の次数は，条件1，2を満たす元の中で最小である．

このとき，イデアルの昇鎖$(a_1)⊊(a_1,a_2)⊊(a_1,a_2,a_3)⊊\cdots$を考えると，$A$はNoether環よりこれは有限の長さで停止する．$(a_1,\dots ,a_k)$で停止するとき，$Iがf_1,\dots ,f_k$によって生成されることを示す．

$g=a{x}^d+\dots$を$I$の任意の元とする．（ここに，$g$の次数は$d$，先頭係数は$a$である．）このとき，$a\in (a_1,\dots ,a_k)$となる．実際，$a\notin (a_1,\dots ,a_k)$とすると，上の条件を満たす$f_{k+1}$が存在することになり矛盾である．

まず，$d\ge d_k$の場合を考える．任意の$i$に対して，$d_i\le d_{i+1}$であるから，$d\ge d_i$が成り立つ．いま，$a\in (a_1,\dots ,a_k)$より$a=\sum _{i=1}^k{c}_i{a}_i,c_i\in A$と書ける．$g_0$を
$$\begin{array}{r}{g}_0=\sum _{i=1}^k{c}_i{x}^{d-d_i}{f}_i\end{array}$$と定めれば，$g-g_0$は$I$に属し，その次数は$>d$である．これを繰り返し，各$r$に対して，$g-\sum _{i=0}^r{g}_i$の次数が$>d+r$となるように$g_r\in (f_1,\dots ,f_k)$を定めていくことができる．このとき，$g-\sum _{r=0}^{\mathrm{\infty }}{g}_r=0$となる．実際，$g-\sum _{r=0}^{\mathrm{\infty }}{g}_r\ne 0$とすると，$\text{deg}(g-\sum _{r=0}^{\mathrm{\infty }}{g}_r)<\mathrm{\infty }$であるが，任意の$n$に対して$\text{deg}(g-\sum _{r=0}^{\mathrm{\infty }}{g}_r)>d+n$であることに矛盾する．従って，$g=\sum _{r=0}^{\mathrm{\infty }}{g}_r\in (f_1,\dots ,f_k)$である．

次に，$d<d_k$の場合を考える．$a\in (a_1,\dots ,a_k)$より，$a\in (a_1,\dots ,a_m)$となるような最小の$m(1\le m\le k)$がとれる．このとき，$a\notin (a_1,\dots ,a_{m-1})$より，$g$は上の条件1，2を満たすが，$f_m$はそのような条件を満たすものの中で最小の次数をもつから，$d\ge d_m$が成り立つ．いま，$a=\sum _{i=1}^m{c}_i{a}_i,c_i\in A$と書ける．$h$を
$$\begin{array}{r}h=\sum _{i=1}^m{c}_i{x}^{d-d_i}{f}_i\end{array}$$と定めれば，$g-h$は$I$に属し，その次数は$>d$である．$g$を$g-h$に置き換えて，同様の操作を適用する．これを繰り返せば，ついには次数が$\ge d_k$である多項式$\tilde{g}=g-\sum h_i\in I$を得る．従って，結局上の場合に帰着させることができ，$\tilde{g}\in (f_1,\dots ,f_k)$となる．よって，$g=\tilde{g}+\sum h_i\in (f_1,\dots ,f_k)$となる．