Cauchy列を用いた実数の構成

$R$の標数が$0$であることを示したら良い。(3)より$-1,1$のいずれか一方のみが$0$より大きいことがわかるが、(4)より$0<1$がわかる。(3)を繰り返し使うことによって$0<1+\dots +1$($n$回)が任意の正の整数$n$について成立することが確かめられる。

(1)$\{a_n\}$を$b, c$に収束する数列とする。$b\neq c$だとすると、$\displaystyle \exists N_1 \in \mathbb{N} ; n>N_1 \Rightarrow |a_n-b|<\frac{|b-c|}{2}$

$\displaystyle \exists N_2 \in \mathbb{N} ; n>N_2 \Rightarrow |a_n-c|<\frac{|b-c|}{2}$

となる。このような$N_1,N_2$と、$N>\max\{N_1,N_2\}$となる$N \in \mathbb{N}$をとると、$\displaystyle |b-c|\leq |a_N-b|+|a_N-c|< \frac{|b-c|}{2}+\frac{|b-c|}{2}=|b-c|$

これは矛盾である。よって、$b=c$である。
(2)$\{a_n \}$をCauchy列とする。

$\exists n \in \mathbb{N} ; n,m>N \Rightarrow |a_n-a_m|<1$

このような$N \in \mathbb{N}$をとると、$n>N \Rightarrow |a_n-a_{N+1}|<1$

となる。よって、$A=\max\{|a_0|, \dots |a_N|, |a_{N+1}-1|, |a_{N+1}-1|\}$とすると、$\forall n \in \mathbb{N}, |a_n|< A$

となり、$\{a_n \}$は有界であることがわかる。
(3)Cauchy列$\{a_n \}$の部分列$\{a_{n_k}\}$が$a\in R$に収束したとする。$\varepsilon >0$を任意にとる。$\{a_{n_k}\}$は収束するから、$\displaystyle \exists K\in \mathbb{N};k>K\Rightarrow |a_{n_k}-a|<\frac{\varepsilon}{2}$

このような$k \in \mathbb{N}$をとる。$\{a_n\}$はCauchy列であるから、$\displaystyle \exists N\in \mathbb{N};n,m>N\Rightarrow |a_n-a_m|<\frac{\varepsilon}{2}$

このような$N \in \mathbb{N}$をとる。また、$l>K, n_l>N$を同時に満たす$l \in \mathbb{N} $をとると、$\displaystyle n>N\Rightarrow |a_n-a|\leq |a_n-a_{n_l}|+|a_{n_l}-a|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$

よって、$\{a_n \}$は$a$に収束する。
(4)$\{a_n \}$を$a$に収束する数列とする。$\varepsilon>0$を任意にとる。

$\displaystyle \exists n\in \mathbb{N};n>N\Rightarrow |a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}$

このような$N \in \mathbb{N}$をとる。

$\displaystyle n,m>N\Rightarrow |a_n-a_m|\leq |a_n-a|+|a_m-a|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$

よって、$\{a_n \}$はCauchy列である。

環になることは面倒なので省略する。(作業的にできる。)$\{x_n \},\{y_n\} \in E$を任意の元とする。$\varepsilon >0$を任意にとる。和がwell-definedであることを確かめる。

$\exists N \in \mathbb{N} ; n,m>N \Rightarrow |x_n-x_m|,|y_n-y_m|<\varepsilon /2$

である。このような$N \in \mathbb{N}$をとる。

$\displaystyle n,m> N \Rightarrow |(x_n+y_n)-(x_m+y_m)|\leq |x_n-x_m|+|y_n-y_m|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$

より$\{x_n\}+\{y_n\} \in E$である。積がwell-definedであることを示す。

$\exists n_0\in \mathbb{N};n,m>n_0\Rightarrow |x_n-x_m|<1$

$\exists n_0\in \mathbb{N};n,m>n_1\Rightarrow |y_n-y_m|<1$

となる。このような$n_0,n_1 \in \mathbb{N}$をとると、$n>n_0\Rightarrow |x_n|<\max \{|1-x_{n_0+1}|, |1+x_{n_0+1}|\}(=Xとおく) $

$n>n_1 \Rightarrow |y_n|<\max \{|1-y_{n_1+1}|, |1+y_{n_1+1}|\}(=Yとおく) $

となる。再度Cauchy性を用いると、$\exists n_2\in \mathbb{N} ; n,m>n_2 \Rightarrow |x_n-x_m|<\varepsilon /2X$

$\exists n_3\in \mathbb{M} ; n,m>n_3 \Rightarrow |y_n-y_m|<\varepsilon /2Y$

となる。このような$n_2,n_3\in \mathbb{N}$をとり、$N=\max \{ n_0,n_1,n_2,n_3\} とする。$

$ n,m>N \Rightarrow |x_ny_n-x_my_m|= |x_ny_n-x_ny_m+x_ny_m-x_my_m|\leq |x_n||y_n-y_m|+|y_m||x_n-x_m|< X (\varepsilon /2X)+Y (\varepsilon /2Y)=\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon $

となり、$\{x_n\}\{y_n \}\in E$である。

反射律と対称律は作業的に示せるから推移律のみ示す。$\{x_n\} R\{y_n\}, \{y_n\} R\{z_n\}$であるとする。$\varepsilon>0$を任意にとる。

$\exists n_0 \in \mathbb{N} ;n>n_0 \Rightarrow |x_n-y_n| <\varepsilon /2$

$\exists n_1 \in \mathbb{N} ;n>n_1 \Rightarrow |y_n-z_n| <\varepsilon /2$

が成立する。このような$n_0,n_1\in \mathbb{N}$をとり、$N=\max\{n_0,n_1\}$とする。

$\displaystyle n>N \Rightarrow |x_n-z_n|\leq |x_n-y_n|+|y_n-z_n|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$

よって$\{x_n\} R\{z_n\}$である。

$[x_n]=[x_n'],[y_n]=[y_n']$であるとする。和がwell-definedであることを示す。$\varepsilon >0$を任意にとる。

$\exists N \in \mathbb{N} ; n>N \Rightarrow |x_n-x_n'|,|y_n-y_n'|<\varepsilon /2$

である。このような$N \in \mathbb{N}$をとると、$\displaystyle n,m> N \Rightarrow |(x_n+y_n)-(x_n'+y_n')|\leq |x_n-x_n'|+|y_n-y_n'|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$

となるから和はwell-definedである。積のwell-defined性も同様に示すことができる。(命題9の証明を参照せよ。)体であることを示す。$E$が環であることと演算の定めた方より$\mathbb{R}$は環である。$0\neq[x_n]\in E$を任意の元とする。まず、ある番号以降$x_n$は符号が一定になることを示す。$[x_n]\neq 0$であるから

$\exists \varepsilon >0 ;\forall M \in \mathbb{N} ,\exists n_M>M ;|x_{n_M}|\geq \varepsilon $

そのような$\varepsilon$をとる。また、各M$\in \mathbb{N}$に対して上記の条件を満たす$n_M$をとる。$\{x_n \}$はCauchy列であるから

$\exists N \in \mathbb{N} ;n,m>N \Rightarrow |x_n-x_m|< \varepsilon/2 $

となる。このような$N\in \mathbb{N}$をとり、上の式において$n=n_N$とすると、$m>N \Rightarrow x_{n_N}-\varepsilon/2 < x_m< x_{n_N}+\varepsilon/2 $

これは$x_m$と$x_{n_N}$が同符号であることを表している。$(|x_{n_N}|\geq \varepsilon >0$より$x_{n_N} \neq 0$に注意せよ。)したがって、$N$番以降符号は変化しない。特に、$n>N \Rightarrow \varepsilon/2 < x_n<3\varepsilon/2$

のように正の符号をとるしても一般性は失われない。新たに、数列$\{y_n \}$を$y_n=\varepsilon (0\leq n\leq N),y_n=x_n(n>N)$と定めることで、$[x_n]=[y_n]$が得られる。さらに、任意の$n$に対して$\varepsilon/2 < y_n<3\varepsilon/2$である。必要ならば$[x_n]$を$[y_n]$で置き換えることによって、$\forall n\in \mathbb{N} ,\varepsilon/2 < x_n<3\varepsilon/2$

としても一般性は失われない。$\{1/x_n \}\in E$であることを示す。(もし$E$の元であれば明らかに$[1/x_n]は[x_n]$の逆元となり体であることが示される。)$\varepsilon '>0$を任意にとる。任意の$n,m>0$について$|x_nx_m|>\varepsilon ^2/4$である。よって、$1/|x_nx_m|<4/\varepsilon ^2$である。$\{x_n\}$はCauchy列であるから、$\exists N \in \mathbb{N} ;n,m>N \Rightarrow |x_n-x_m|<\varepsilon ^2\varepsilon '/4$

となる。このような$N\in \mathbb{N}$をとると、$\displaystyle n,m>N \Rightarrow \left|\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_m}\right|=\frac{|x_n-x_m|}{x_nx_m}<\frac{\varepsilon ^2}{4} \cdot \varepsilon' \cdot \frac{4}{\varepsilon ^2}=\varepsilon '$

である。よって、$\{1/x_n \}\in E$であるから$\mathbb{R}$は体である。

まず、well-definedであることを示す。$[x_n]=[x_n'],[y_n]=[y_n']$とする。ここで、$「 \exists \varepsilon >0;\exists M \in \mathbb{N} ; n>M \Rightarrow x_n+\varepsilon \leq y_n」または[x_n]=[y_n]$

だとする。このような$\varepsilon ,Nを一つとる。$このとき、$「 \exists \varepsilon' >0;\exists M \in \mathbb{N} ; n>M \Rightarrow x_n'+\varepsilon' \leq y_n'」または[x_n']=[y_n']$

を示したい。$[x_n]=[y_n]$のときは$[x_n']=[y_n']$が成立するからそうでないときのみを考えたら良い。$[x_n]=[x_n'],[y_n]=[y_n'] より、$

$\exists n_0 \in \mathbb{N} ;n>n_0 \Rightarrow |x_n-x_n'|<\varepsilon/4 ,$

$\exists n_1 \in \mathbb{N} ;n>n_1 \Rightarrow |y_n-y_n'|<\varepsilon/4$

このような$n_0,n_1\in \mathbb{N}$をとり$M=\max \{N,n_0,n_1 \}$とすると、$ n>M \Rightarrow x_n'+\varepsilon/2 \leq y_n'$

となり条件が示される。よって、$\leq $はwell-definedである。

次に全順序性を示す。反射律と推移律は明らかだから比較可能性のみを調べたら良い。$[x_n]\neq[y_n]$だとする。$\{ x_n -y_n \}$は0に収束しないCauchy列だから$\mathbb{R}$が体であることを示したのと同様にある番号以降同符号になる。正ならば$[y_n] \leq [x_n]$が、負ならば$[x_n]\leq[y_n]$である。

面倒なので省略する。(作業的にできる。)

『解析入門$\rm{\,I\,}$』の定理3.6

の後の注意4を参照されたい。ただし、それまでに用いている定理(例えば、はさみうちの原理など)は一般の順序体上でも成立することに注意されたい。また、文献では(2)$\rightarrow$(3)などを示す際に$\mathbb{R}$上すなわち(1)が成立しているという仮定の元で議論しているが実際のところ(1)は使っておらず(2)の性質のみを使っていることに注意せよ。

$\{r_n \}$を$\mathbb{R}$のCauchy列とする。まず、ある$k\in \mathbb{N}$が存在して無限の$n \in \mathbb{N}$に対して$r_k=r_n$となる場合を考える。このとき、そのような$n$をとり続けることで$\{r_n \}$は収束する部分列を持つことがわかる。よって、命題10より$\{r_n \}$は収束する。次に、そうでないときを考える。$k \in \mathbb{N}$を任意にとる。仮定より、$\exists n \in \mathbb{N}; k< n, r_k \neq r_n$

そのような$n$のうち最小なものを$l_k$とする。$|r_k-r_{l_k}|>0$より、$r_k-|r_k-r_{l_k}|< r_k+|r_k-r_{l_k}|$

よって、$\mathbb{Q}$の稠密性より、$\exists a \in \mathbb{Q} ;r_k-|r_k-r_{l_k}|< a< r_k+|r_k-r_{l_k}|$

各$k\in \mathbb{N}$についてこのような$a$をとり$a_k$とする。すると、$|r_k-a_k|<|r_k-r_{l_k}|$

である。この$\{a_k \}$が$\mathbb{Q}$のCauchy列であることが、$|a_k-a_m|\leq |a_k-r_k|+|r_k-r_m|+|r_m-a_m|<|r_l-r_{l_k}|+|r_k-r_m|+|r_m-r_{l_m}|$

と$\{r_n \}$のCauchy性、$\mathbb{Q}$の稠密性より示される。よって、$\{a_n\}\in E$であるから、$\mathbb{R}=E/R$に送って、$r=[a_n]$とする。すると、$|r_n-r|\leq |r_n-a_n|+|a_n-r|<|r_n-r_{l_n}|+|a_n-r|$

より、$\{r_n \}$は$r$に収束することがわかる。

『解析入門$\rm{\,I\,}$』定理3.9

$x \in R$を任意の元とする。命題27よりある$R$数列$\{a_n \}$が存在して、$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n =x,\forall n \in \mathbb{N}, a_n \in \mathbb{Q}$

を満たす。命題10より$\{a_n \}は$Cauchy列である。よって、$\forall \varepsilon >0 $(in$R) , \exists n \in \mathbb{N} ;n >N \Rightarrow |a_n-a_m|<\varepsilon$

特に、$\forall \varepsilon >0 $(in$\mathbb{Q}) , \exists n \in \mathbb{N} ;n >N \Rightarrow |a_n-a_m|<\varepsilon$

となる。ここで$\mathbb{Q}の稠密性より、$

$\forall \varepsilon >0 $(in$R') , \exists n \in \mathbb{N} ;n >N \Rightarrow |a_n-a_m|<\varepsilon$

であるから、数列$\{a_n \}$は$R'$数列とみてもCauchy列である。($a_n \in \mathbb{Q} \subset R'$より$R'$数列としても見れる。)よって、命題22よりこの数列は($R'$の中に)収束する。収束先を$f(x)$とする。$f:R \rightarrow R'$はwell-definedであり(すなわち収束列の選び方によらない)、順序体同型である。