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Cauchy列を用いた実数の構成

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本稿では順序体 $Q$ から連続公理を満足する $R$ を構成する。また、一部の証明を省略した。(『解析入門 $I$ 』に載っている。)

特に記載のない限り $0 \in N$ とする。

順序体

$(R, +, \times, \leq)$ が順序体であるとは次の4条件を満たすことである。
1) $(R, +, \times)$ は体である。
2) $\leq$ は $R$ 上の全順序集合である。
3) $a \leq b$ ならば任意の元 $c \in R$ に対して $a + c \leq b + c$ が成立する。
4) $0 \leq a, b$ ならば $0 \leq a b$ が成立する。

$Q$ は自然に順序体と見れる。この $Q$ から $R$ を作るのである。

順序体 $R$ の空でなく上に有界な任意の部分集合が上限を持つとき $R$ は連続公理を満たすという。

$R, R^{'}$ を順序体とする。写像 $f : R \to R^{'}$ が順序同型かつ体同型でもあるとき $f$ は順序体同型であるという。

連続公理を満たす順序体は順序体同型を除いて一意的に存在する。

以下、これを示す。まずは存在性に関してである。

命題名（任意）

$Q$ は最小の順序体である。すなわち、任意の順序体Rに関して順序を保つ単射体準同型 $Q \to R$ が存在する。

$R$ の標数が $0$ であることを示したら良い。(3)より $- 1, 1$ のいずれか一方のみが $0$ より大きいことがわかるが、(4)より $0 < 1$ がわかる。(3)を繰り返し使うことによって $0 < 1 + \dots + 1$ ( $n$ 回)が任意の正の整数 $n$ について成立することが確かめられる。

順序体の元 $a$ に対して、 $max {a, - a}$ を $| a |$ で表す。

$R$ を順序体とする。各項が $R$ の元からなる数列を $R$ 数列という。R数列 ${x_{n}}$ と $a \in R$ が

$\forall ε > 0, \exists N \in N; n > N \Rightarrow | x_{n} - a | < ε$

という条件を満たすとき ${x_{n}}$ は $a$ に収束するという。R数列 ${x_{n}}$ が

$\forall ε > 0, \exists N \in N; n, m > N \Rightarrow | x_{n} - x_{m} | < ε$

という条件を満たすとき、 ${x_{n}}$ はCauchy列であるという。

(1)数列が収束したとすると収束先は唯一つである。(2)Cauchy列は有界である。(3)Cauchy列が収束する部分列を持てばもとの列も同じ値に収束する。(4)収束する数列はCauchy列である。

(1) ${a_{n}}$ を $b, c$ に収束する数列とする。 $b \neq c$ だとすると、 $\exists N_{1} \in N; n > N_{1} \Rightarrow | a_{n} - b | < \frac{| b - c |}{2}$

$\exists N_{2} \in N; n > N_{2} \Rightarrow | a_{n} - c | < \frac{| b - c |}{2}$

となる。このような $N_{1}, N_{2}$ と、 $N > max {N_{1}, N_{2}}$ となる $N \in N$ をとると、 $| b - c | \leq | a_{N} - b | + | a_{N} - c | < \frac{| b - c |}{2} + \frac{| b - c |}{2} = | b - c |$

これは矛盾である。よって、 $b = c$ である。
(2) ${a_{n}}$ をCauchy列とする。

$\exists n \in N; n, m > N \Rightarrow | a_{n} - a_{m} | < 1$

このような $N \in N$ をとると、 $n > N \Rightarrow | a_{n} - a_{N + 1} | < 1$

となる。よって、 $A = max {| a_{0} |, \dots | a_{N} |, | a_{N + 1} - 1 |, | a_{N + 1} - 1 |}$ とすると、 $\forall n \in N, | a_{n} | < A$

となり、 ${a_{n}}$ は有界であることがわかる。
(3)Cauchy列 ${a_{n}}$ の部分列 ${a_{n_{k}}}$ が $a \in R$ に収束したとする。 $ε > 0$ を任意にとる。 ${a_{n_{k}}}$ は収束するから、 $\exists K \in N; k > K \Rightarrow | a_{n_{k}} - a | < \frac{ε}{2}$

このような $k \in N$ をとる。 ${a_{n}}$ はCauchy列であるから、 $\exists N \in N; n, m > N \Rightarrow | a_{n} - a_{m} | < \frac{ε}{2}$

このような $N \in N$ をとる。また、 $l > K, n_{l} > N$ を同時に満たす $l \in N$ をとると、 $n > N \Rightarrow | a_{n} - a | \leq | a_{n} - a_{n_{l}} | + | a_{n_{l}} - a | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε$

よって、 ${a_{n}}$ は $a$ に収束する。
(4) ${a_{n}}$ を $a$ に収束する数列とする。 $ε > 0$ を任意にとる。

$\exists n \in N; n > N \Rightarrow | a_{n} - a | < \frac{ε}{2}$

このような $N \in N$ をとる。

$n, m > N \Rightarrow | a_{n} - a_{m} | \leq | a_{n} - a | + | a_{m} - a | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε$

よって、 ${a_{n}}$ はCauchy列である。

$Q$ 数列でCauchy列であるもの全体の集合を $E$ とする。 $E$ 上に和と積を次の様に定める。

${x_{n}} + {y_{n}} = {x_{n} + y_{n}}$

${x_{n}} {y_{n}} = {x_{n} y_{n}}$

この演算はwell-definedである。(つまり、Cauchy列の和と積は再度Cauchy列になる。)さらに、 $E$ はこの演算に関して環になる。

環になることは面倒なので省略する。(作業的にできる。) ${x_{n}}, {y_{n}} \in E$ を任意の元とする。 $ε > 0$ を任意にとる。和がwell-definedであることを確かめる。

$\exists N \in N; n, m > N \Rightarrow | x_{n} - x_{m} |, | y_{n} - y_{m} | < ε / 2$

である。このような $N \in N$ をとる。

$n, m > N \Rightarrow | (x_{n} + y_{n}) - (x_{m} + y_{m}) | \leq | x_{n} - x_{m} | + | y_{n} - y_{m} | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε$

より ${x_{n}} + {y_{n}} \in E$ である。積がwell-definedであることを示す。

$\exists n_{0} \in N; n, m > n_{0} \Rightarrow | x_{n} - x_{m} | < 1$

$\exists n_{0} \in N; n, m > n_{1} \Rightarrow | y_{n} - y_{m} | < 1$

となる。このような $n_{0}, n_{1} \in N$ をとると、 $n > n_{0} \Rightarrow | x_{n} | < max {| 1 - x_{n_{0} + 1} |, | 1 + x_{n_{0} + 1} |} (= X とおく)$

$n > n_{1} \Rightarrow | y_{n} | < max {| 1 - y_{n_{1} + 1} |, | 1 + y_{n_{1} + 1} |} (= Y とおく)$

となる。再度Cauchy性を用いると、 $\exists n_{2} \in N; n, m > n_{2} \Rightarrow | x_{n} - x_{m} | < ε / 2 X$

$\exists n_{3} \in M; n, m > n_{3} \Rightarrow | y_{n} - y_{m} | < ε / 2 Y$

となる。このような $n_{2}, n_{3} \in N$ をとり、 $N = max {n_{0}, n_{1}, n_{2}, n_{3}} とする。$

$n, m > N \Rightarrow | x_{n} y_{n} - x_{m} y_{m} | = | x_{n} y_{n} - x_{n} y_{m} + x_{n} y_{m} - x_{m} y_{m} | \leq | x_{n} | | y_{n} - y_{m} | + | y_{m} | | x_{n} - x_{m} | < X (ε / 2 X) + Y (ε / 2 Y) = ε / 2 + ε / 2 = ε$

となり、 ${x_{n}} {y_{n}} \in E$ である。

$E$ 上の関係 $R$ を ${x_{n}} R {y_{n}} \Leftrightarrow$ 数列 ${x_{n} - y_{n}}$ は0に収束する、と定義する。これは $E$ 上の同値関係になる。

反射律と対称律は作業的に示せるから推移律のみ示す。 ${x_{n}} R {y_{n}}, {y_{n}} R {z_{n}}$ であるとする。 $ε > 0$ を任意にとる。

$\exists n_{0} \in N; n > n_{0} \Rightarrow | x_{n} - y_{n} | < ε / 2$

$\exists n_{1} \in N; n > n_{1} \Rightarrow | y_{n} - z_{n} | < ε / 2$

が成立する。このような $n_{0}, n_{1} \in N$ をとり、 $N = max {n_{0}, n_{1}}$ とする。

$n > N \Rightarrow | x_{n} - z_{n} | \leq | x_{n} - y_{n} | + | y_{n} - z_{n} | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε$

よって ${x_{n}} R {z_{n}}$ である。

商集合 $E / R$ を実数集合といい、 $R$ と書く。 ${x_{n}} \in E$ を代表元とする同値類を $[x_{n}]$ と書く。

$R$ に次の様に2つの演算 $+, \cdot$ を次の様に定義する。

和) $[x_{n}] + [y_{n}] = [x_{n} + y_{n}]$ 積 $[x_{n}] [y_{n}] = [x_{n} y_{n}]$ この演算はwell-definedであり、 $(R, +, \cdot)$ は環とくに体になる。

$[x_{n}] = [x_{n}^{'}], [y_{n}] = [y_{n}^{'}]$ であるとする。和がwell-definedであることを示す。 $ε > 0$ を任意にとる。

$\exists N \in N; n > N \Rightarrow | x_{n} - x_{n}^{'} |, | y_{n} - y_{n}^{'} | < ε / 2$

である。このような $N \in N$ をとると、 $n, m > N \Rightarrow | (x_{n} + y_{n}) - (x_{n}^{'} + y_{n}^{'}) | \leq | x_{n} - x_{n}^{'} | + | y_{n} - y_{n}^{'} | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε$

となるから和はwell-definedである。積のwell-defined性も同様に示すことができる。(命題9の証明を参照せよ。)体であることを示す。 $E$ が環であることと演算の定めた方より $R$ は環である。 $0 \neq [x_{n}] \in E$ を任意の元とする。まず、ある番号以降 $x_{n}$ は符号が一定になることを示す。 $[x_{n}] \neq 0$ であるから

$\exists ε > 0; \forall M \in N, \exists n_{M} > M; | x_{n_{M}} | \geq ε$

そのような $ε$ をとる。また、各M $\in N$ に対して上記の条件を満たす $n_{M}$ をとる。 ${x_{n}}$ はCauchy列であるから

$\exists N \in N; n, m > N \Rightarrow | x_{n} - x_{m} | < ε / 2$

となる。このような $N \in N$ をとり、上の式において $n = n_{N}$ とすると、 $m > N \Rightarrow x_{n_{N}} - ε / 2 < x_{m} < x_{n_{N}} + ε / 2$

これは $x_{m}$ と $x_{n_{N}}$ が同符号であることを表している。 $(| x_{n_{N}} | \geq ε > 0$ より $x_{n_{N}} \neq 0$ に注意せよ。)したがって、 $N$ 番以降符号は変化しない。特に、 $n > N \Rightarrow ε / 2 < x_{n} < 3 ε / 2$

のように正の符号をとるしても一般性は失われない。新たに、数列 ${y_{n}}$ を $y_{n} = ε (0 \leq n \leq N), y_{n} = x_{n} (n > N)$ と定めることで、 $[x_{n}] = [y_{n}]$ が得られる。さらに、任意の $n$ に対して $ε / 2 < y_{n} < 3 ε / 2$ である。必要ならば $[x_{n}]$ を $[y_{n}]$ で置き換えることによって、 $\forall n \in N, ε / 2 < x_{n} < 3 ε / 2$

としても一般性は失われない。 ${1 / x_{n}} \in E$ であることを示す。(もし $E$ の元であれば明らかに $[1 / x_{n}] は [x_{n}]$ の逆元となり体であることが示される。) $ε^{'} > 0$ を任意にとる。任意の $n, m > 0$ について $| x_{n} x_{m} | > ε^{2} / 4$ である。よって、 $1 / | x_{n} x_{m} | < 4 / ε^{2}$ である。 ${x_{n}}$ はCauchy列であるから、 $\exists N \in N; n, m > N \Rightarrow | x_{n} - x_{m} | < ε^{2} ε^{'} / 4$

となる。このような $N \in N$ をとると、 $n, m > N \Rightarrow | \frac{1}{x_{n}} - \frac{1}{x_{m}} | = \frac{| x_{n} - x_{m} |}{x_{n} x_{m}} < \frac{ε^{2}}{4} \cdot ε^{'} \cdot \frac{4}{ε^{2}} = ε^{'}$

である。よって、 ${1 / x_{n}} \in E$ であるから $R$ は体である。

$R$ 上の順序 $\leq$ を $[x_{n}] \leq [y_{n}] \Leftrightarrow$

$「 \exists ε > 0, N \in N; n > N \Rightarrow x_{n} + ε \leq y_{n} 」または [x_{n}] = [y_{n}]$

と定義する。 $\leq$ はwell-definedであり、 $R$ 上の全順序になる。

まず、well-definedであることを示す。 $[x_{n}] = [x_{n}^{'}], [y_{n}] = [y_{n}^{'}]$ とする。ここで、 $「 \exists ε > 0; \exists M \in N; n > M \Rightarrow x_{n} + ε \leq y_{n} 」または [x_{n}] = [y_{n}]$

だとする。このような $ε, N を一つとる。$ このとき、 $「 \exists ε^{'} > 0; \exists M \in N; n > M \Rightarrow x_{n}^{'} + ε^{'} \leq y_{n}^{'} 」または [x_{n}^{'}] = [y_{n}^{'}]$

を示したい。 $[x_{n}] = [y_{n}]$ のときは $[x_{n}^{'}] = [y_{n}^{'}]$ が成立するからそうでないときのみを考えたら良い。 $[x_{n}] = [x_{n}^{'}], [y_{n}] = [y_{n}^{'}] より、$

$\exists n_{0} \in N; n > n_{0} \Rightarrow | x_{n} - x_{n}^{'} | < ε / 4,$

$\exists n_{1} \in N; n > n_{1} \Rightarrow | y_{n} - y_{n}^{'} | < ε / 4$

このような $n_{0}, n_{1} \in N$ をとり $M = max {N, n_{0}, n_{1}}$ とすると、 $n > M \Rightarrow x_{n}^{'} + ε / 2 \leq y_{n}^{'}$

となり条件が示される。よって、 $\leq$ はwell-definedである。

次に全順序性を示す。反射律と推移律は明らかだから比較可能性のみを調べたら良い。 $[x_{n}] \neq [y_{n}]$ だとする。 ${x_{n} - y_{n}}$ は0に収束しないCauchy列だから $R$ が体であることを示したのと同様にある番号以降同符号になる。正ならば $[y_{n}] \leq [x_{n}]$ が、負ならば $[x_{n}] \leq [y_{n}]$ である。

$a, b \in Q$ とする。このとき、 $a \leq b \Leftrightarrow [{a}] \leq [{b}]$

面倒なので省略する。(作業的にできる。)

以降、 $[a]$ のことを単に $a$ と記すことにする。

$R$ は上の演算と順序に関して順序体になる。

面倒なので省略する。(作業的にできる。)

次に、順序体 $R$ が連続の公理を満足することを示すが、その前に連続の公理を使いやすい形に変更する。 $R$ を順序体とする。

① $R$ 数列 ${a_{n}}$ が

$\exists δ > 0; \forall n \in N, | a_{n} | < δ$ (有界性)

$\forall n \in N, a_{n} < a_{n + 1}$ (単調増加性)

を満たすとき、 ${a_{n}}$ は単調増加数列であるという。

② $R$ 数列 ${a_{n}}$ が正の無限大に発散するとは、 $\forall δ \in R, \exists N \in N; n > N \Rightarrow a_{n} > δ$

という条件を満たすことである。このとき、 $lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty$ と記す。

③2元 $a, b \in R (a < b)$ を用いて $[a, b] = {x \in R | a \leq x \leq b}$ と表されるRの部分集合を有界閉区間という。有界閉区間の列 ${I_{n}}$ が

$\forall n \in N, I_{n + 1} ⊊ I_{n}$

という条件を満たすとき、この列は狭義単調減少であるという。

④ ${a_{n}}$ を $R$ 数列とする。ある狭義単調増加な $N$ の数列 ${n_{k}}_{k}$ を用いて ${a_{n_{k}}}_{k}$ と表される $R$ の数列を ${a_{n}}$ の部分列という。

順序体 $R$ に関する次の条件を考える。

連続の公理を満たす。 $\dots$ 条件1

任意の上に有界な単調増加数列は収束する。 $\dots$ 条件2

$lim_{n \to \infty} n = \infty \dots$ 条件3

狭義単調減少な有界閉区間の共通部分は空ではない。 $\dots$ 条件4

任意の有界数列は収束部分列を持つ。 $\dots$ 条件5

任意のCauchy列は収束する。 $\dots$ 条件6

この6つの条件には次の様な関係がある。

順序体に関して次の5条件は同値である。

(1)条件1を満たす。

(2)条件2を満たす。

(3)条件3と条件4を満たす。

(4)条件5を満たす。

(5)条件3と6を満たす。

『解析入門 $I$ 』の定理3.6

の後の注意4を参照されたい。ただし、それまでに用いている定理(例えば、はさみうちの原理など)は一般の順序体上でも成立することに注意されたい。また、文献では(2) $\to$ (3)などを示す際に $R$ 上すなわち(1)が成立しているという仮定の元で議論しているが実際のところ(1)は使っておらず(2)の性質のみを使っていることに注意せよ。

$Q$ は条件3を満たす。

$R$ は条件3を満たす。

$ε \in R$ を任意にとる。ある $E$ の元 ${ε_{n}}$ が存在して、 $ε = [ε_{n}]$ となる。 ${ε_{n}}$ はCauchy列であるから有界である。よって、ある $C \in Q$ が存在して

$n > 0 \Rightarrow a_{n} < C$

となる。 $Q$ は条件3を満たすからある $m \in N$ が存在して $C < m$ となる。よって、 $n > 0 \Rightarrow ε_{n} < m$

であるから、 $ε \leq m$ を得る。 $ε$ の任意性より、条件3は満たされる。

$a, b \in R$ が $a < b$ を満たせば、 $ある c \in Q$ が存在して $a < c < b$ となる。

$a \neq b$ と条件3よりある $n \in N$ が存在して $n > 1 / (b - a)$ となるが、 $b - a > 0$ より $n (b - a) > 1$ つまり $n b > n a + 1$ となる。条件3よりある $l \in N$ が存在して $l > n a$ となるがそのような $l$ のうち最小なものを $m$ とする。このとき、 $a < m / n < b$ が成立する。実際、 $\frac{m}{n} - a = \frac{m - n a}{n} > 0$ ( $m > n a$ より)

$b - \frac{m}{n} = \frac{n b - m}{n} > \frac{n a + 1 - m}{n} \geq 0$ ( $m$ の最小性を利用)

これを $R$ における $Q$ の稠密性という。

$R$ は条件6を満たす。

${r_{n}}$ を $R$ のCauchy列とする。まず、ある $k \in N$ が存在して無限の $n \in N$ に対して $r_{k} = r_{n}$ となる場合を考える。このとき、そのような $n$ をとり続けることで ${r_{n}}$ は収束する部分列を持つことがわかる。よって、命題10より ${r_{n}}$ は収束する。次に、そうでないときを考える。 $k \in N$ を任意にとる。仮定より、 $\exists n \in N; k < n, r_{k} \neq r_{n}$

そのような $n$ のうち最小なものを $l_{k}$ とする。 $| r_{k} - r_{l_{k}} | > 0$ より、 $r_{k} - | r_{k} - r_{l_{k}} | < r_{k} + | r_{k} - r_{l_{k}} |$

よって、 $Q$ の稠密性より、 $\exists a \in Q; r_{k} - | r_{k} - r_{l_{k}} | < a < r_{k} + | r_{k} - r_{l_{k}} |$

各 $k \in N$ についてこのような $a$ をとり $a_{k}$ とする。すると、 $| r_{k} - a_{k} | < | r_{k} - r_{l_{k}} |$

である。この ${a_{k}}$ が $Q$ のCauchy列であることが、 $| a_{k} - a_{m} | \leq | a_{k} - r_{k} | + | r_{k} - r_{m} | + | r_{m} - a_{m} | < | r_{l} - r_{l_{k}} | + | r_{k} - r_{m} | + | r_{m} - r_{l_{m}} |$

と ${r_{n}}$ のCauchy性、 $Q$ の稠密性より示される。よって、 ${a_{n}} \in E$ であるから、 $R = E / R$ に送って、 $r = [a_{n}]$ とする。すると、 $| r_{n} - r | \leq | r_{n} - a_{n} | + | a_{n} - r | < | r_{n} - r_{l_{n}} | + | a_{n} - r |$

より、 ${r_{n}}$ は $r$ に収束することがわかる。

命題22,24,26より $R$ は連続の公理を満たす。次に一意性を示す。

$R$ を連続公理を満たす順序体とする。任意の元 $x \in R$ に対してある $R$ 数列 ${a_{n}}$ が存在して、 $lim_{n \to \infty} a_{n} = x$

$\forall n \in N, a_{n} \in Q$

を満たす。

『解析入門 $I$ 』定理3.9

$R, R^{'}$ を連続公理を満たす順序体とする。順序体同型 $R \to R^{'}$ が存在する。

$x \in R$ を任意の元とする。命題27よりある $R$ 数列 ${a_{n}}$ が存在して、 $lim_{n \to \infty} a_{n} = x, \forall n \in N, a_{n} \in Q$

を満たす。命題10より ${a_{n}} は$ Cauchy列である。よって、 $\forall ε > 0$ (in $R), \exists n \in N; n > N \Rightarrow | a_{n} - a_{m} | < ε$

特に、 $\forall ε > 0$ (in $Q), \exists n \in N; n > N \Rightarrow | a_{n} - a_{m} | < ε$

となる。ここで $Q の稠密性より、$

$\forall ε > 0$ (in $R^{'}), \exists n \in N; n > N \Rightarrow | a_{n} - a_{m} | < ε$

であるから、数列 ${a_{n}}$ は $R^{'}$ 数列とみてもCauchy列である。( $a_{n} \in Q \subset R^{'}$ より $R^{'}$ 数列としても見れる。)よって、命題22よりこの数列は( $R^{'}$ の中に)収束する。収束先を $f (x)$ とする。 $f : R \to R^{'}$ はwell-definedであり(すなわち収束列の選び方によらない)、順序体同型である。