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x^y=y^x の有理数解

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ここでは以下の方程式について考えます。

xy=yx(x,y>0)

まず、x=yは自明な解なので省きます。
一般性を失わずにx<yとできます。
ここで、(いきなりですが)y=xt(t>1)とおきます。
すると、xxt=(xt)xより、(xt)x=(xt)xとなるので、xt=xtです。
これより、xt1=tx=t1t1がわかるので、(x,y)=(t1t1,ttt1)(t>1)が得られます。
ここで、t>1なので1t1>0であり、1t1tでおき直すと(x,y)=((t+1t)t,(t+1t)t+1)(t>0)
という解が得られます。

次に、これの有理数解について考えます。
x=yは自明な解なのでx<yとします。
x,yが共に有理数なのでその比t+1tも有理数です。よって、tも有理数です。
t=nm(gcd(m,n)=1,m,n>0) とおきます。
x=(n+mn)nmが有理数であり、mnが互いに素なので(n+mn)1mが有理数になります。
(この部分は少し非自明なので説明をしておきます。α=(n+mn)1mとおくと、αnαmはともに有理数です。m,nが互いに素なのでam+bn=1となる整数a,bが存在してα=αam+bn=(αm)a(αn)bが有理数となるわけです。)
mnが互いに素なのでn+mnは互いに素です。
よって、(n+mn)1mが有理数であることからn+mnはどちらもある整数のm乗として表されます。
ここで、2つの異なるm乗数の差は最小でも2m1となりますがn+mnの差はmであるのでm2m1であることが必要となります。これをみたす正の整数は1のみであるので、m=1が得られました。
m=1を代入してみると、(x,y)=((n+1n)n,(n+1n)n+1)が得られ、たしかにこれは有理数です。
よって、xy=yxの有理数解は、x=yとなるものと、これと、これのxyを入れ替えたものです。

投稿日:2021510
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