ここでは以下の方程式について考えます。
まず、は自明な解なので省きます。一般性を失わずにとできます。ここで、(いきなりですが)とおきます。すると、より、となるので、です。これより、、がわかるので、が得られます。ここで、なのでであり、をでおき直すとという解が得られます。次に、これの有理数解について考えます。
は自明な解なのでとします。
が共に有理数なのでその比も有理数です。よって、も有理数です。
(,) とおきます。
が有理数であり、とが互いに素なのでが有理数になります。
(この部分は少し非自明なので説明をしておきます。とおくと、とはともに有理数です。が互いに素なのでとなる整数が存在してが有理数となるわけです。)
とが互いに素なのでとは互いに素です。
よって、が有理数であることからとはどちらもある整数の乗として表されます。
ここで、つの異なる乗数の差は最小でもとなりますがとの差はであるのでであることが必要となります。これをみたす正の整数はのみであるので、が得られました。
を代入してみると、が得られ、たしかにこれは有理数です。
よって、の有理数解は、となるものと、これと、これのとを入れ替えたものです。