【京都大学2021年度前期入試数学(理系)第4問】これを難しいと言っていいのかな？

京都大学(理系)の4回目，曲線の長さを求める問題です．式変形が少々込み入った問題とはいえ，このくらいは普通だと思うのですが…

問題

解答解説

求める曲線の長さを $L$ とおくと，
\begin{equation} 　　　L=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx \end{equation}
であるので，まずは $\displaystyle\frac{dy}{dx}$ を求めてみます．
\begin{equation} 　　　\frac{dy}{dx}=\frac{-\sin x}{1+\cos x} \end{equation}
$0\leqq x\leqq \displaystyle\frac{\pi}{2}$ のとき $\displaystyle\cos\frac{x}{2}>0$ であることから
\begin{align} \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} &=\sqrt{1+\frac{(-\sin x)^2}{(1+\cos x)^2}} =\sqrt{\frac{(1+\cos x)^2+\sin^2 x}{(1+\cos x)^2}}\\ &=\sqrt{\frac{2(1+\cos x)}{(1+\cos x)^2}} =\sqrt{\frac{2}{1+\cos x}}\\ &=\sqrt{\frac{1}{\displaystyle\cos^2 \frac{x}{2}}} =\frac{1}{\displaystyle\cos\frac{x}{2}} =\frac{\displaystyle\cos\frac{x}{2}}{\displaystyle 1-\sin^2\frac{x}{2}}\\ &=\left(\frac{1}{\displaystyle 1-\sin\frac{x}{2}}+\frac{1}{\displaystyle 1+\sin\frac{x}{2}}\right)\times\frac{d}{dx}\left(\sin\frac{x}{2}\right) \end{align}
となります．したがって，
\begin{align} L &=\left[-\ln\left|1-\sin\frac{x}{2}\right|+\ln\left|1+\sin\frac{x}{2}\right|\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\ &=-\ln\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\ln\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\\ &=\ln\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\\ &=\ln(\sqrt{2}+1)^2\\ &=2\ln(\sqrt{2}+1) \end{align}
が答えとなります．

感想

答えとしては $2 \ln (\sqrt{2} + 1)$ の他に $\ln (3 + 2\sqrt{2})$ などが考えられますが，その辺は同じ値であれば何でもいいと思います．

($\displaystyle\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ とした場合，後者の答えが出てきそうです．)

この問題も基本的な技術のみで解けます．しいて言えば根号の中の計算が面倒ですが，このくらいは苦なく処理してもらわないと困ります．

私が受験生の頃であればこの程度の問題は基本問題の範疇ですが，ここまでの 4問を見ると応用問題の位置づけなのでしょうか？だとするとガッカリです．

(おそらくコロナ対応ということなのでしょうけど…)