【京都大学2021年度前期入試数学(理系)第4問】これを難しいと言っていいのかな？

京都大学(理系)の4回目，曲線の長さを求める問題です．式変形が少々込み入った問題とはいえ，このくらいは普通だと思うのですが…

問題

解答解説

求める曲線の長さを $L$ とおくと，
$$L={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx$$
であるので，まずは ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ を求めてみます．
$$\frac{dy}{dx}=\frac{-\sin x}{1+\cos x}$$
$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ のとき ${\displaystyle \cos \frac{x}{2}>0}$ であることから
$$\begin{array}{rl}\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}& =\sqrt{1+\frac{(-\sin x{)}^2}{(1+\cos x{)}^2}}=\sqrt{\frac{(1+\cos x{)}^2+{\sin }^{2}x}{(1+\cos x{)}^2}}\\ & =\sqrt{\frac{2(1+\cos x)}{(1+\cos x{)}^2}}=\sqrt{\frac{2}{1+\cos x}}\\ & =\sqrt{\frac{1}{{\displaystyle {\cos }^2\frac{x}{2}}}}=\frac{1}{{\displaystyle \cos \frac{x}{2}}}=\frac{{\displaystyle \cos \frac{x}{2}}}{{\displaystyle 1-{\sin }^2\frac{x}{2}}}\\ & =(\frac{1}{{\displaystyle 1-\sin \frac{x}{2}}}+\frac{1}{{\displaystyle 1+\sin \frac{x}{2}}})\times \frac{d}{dx}(\sin \frac{x}{2})\end{array}$$
となります．したがって，
$$\begin{array}{rl}L& ={[-\ln |1-\sin \frac{x}{2}|+\ln |1+\sin \frac{x}{2}|]}_0^{\frac{\pi }{2}}\\ & =-\ln (1-\frac{1}{\sqrt{2}})+\ln (1+\frac{1}{\sqrt{2}})\\ & =\ln \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\\ & =\ln {(\sqrt{2}+1)}^2\\ & =2\ln (\sqrt{2}+1)\end{array}$$
が答えとなります．

感想

答えとしては $2\ln (\sqrt{2}+1)$ の他に $\ln (3+2\sqrt{2})$ などが考えられますが，その辺は同じ値であれば何でもいいと思います．

(${\displaystyle \sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}}$ とした場合，後者の答えが出てきそうです．)

この問題も基本的な技術のみで解けます．しいて言えば根号の中の計算が面倒ですが，このくらいは苦なく処理してもらわないと困ります．

私が受験生の頃であればこの程度の問題は基本問題の範疇ですが，ここまでの 4問を見ると応用問題の位置づけなのでしょうか？だとするとガッカリです．

(おそらくコロナ対応ということなのでしょうけど…)