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【京都大学2021年度前期入試数学(理系)第4問】これを難しいと言っていいのかな?

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京都大学(理系)の4回目,曲線の長さを求める問題です.式変形が少々込み入った問題とはいえ,このくらいは普通だと思うのですが…

問題

曲線 y=log(1+cosx)0xπ2 の部分の長さを求めよ.

解答解説

求める曲線の長さを L とおくと,
   L=0π21+(dydx)2dx
であるので,まずは dydx を求めてみます.
   dydx=sinx1+cosx
0xπ2 のとき cosx2>0 であることから
1+(dydx)2=1+(sinx)2(1+cosx)2=(1+cosx)2+sin2x(1+cosx)2=2(1+cosx)(1+cosx)2=21+cosx=1cos2x2=1cosx2=cosx21sin2x2=(11sinx2+11+sinx2)×ddx(sinx2)
となります.したがって,
L=[ln|1sinx2|+ln|1+sinx2|]0π2=ln(112)+ln(1+12)=ln2+121=ln(2+1)2=2ln(2+1)
が答えとなります.

感想

答えとしては 2ln(2+1) の他に ln(3+22) などが考えられますが,その辺は同じ値であれば何でもいいと思います.

(sinπ4=22 とした場合,後者の答えが出てきそうです.)

この問題も基本的な技術のみで解けます.しいて言えば根号の中の計算が面倒ですが,このくらいは苦なく処理してもらわないと困ります.

私が受験生の頃であればこの程度の問題は基本問題の範疇ですが,ここまでの 4問を見ると応用問題の位置づけなのでしょうか?だとするとガッカリです.

(おそらくコロナ対応ということなのでしょうけど…)

投稿日:2021513
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TomYum君
TomYum君
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名前はトムヤムクン(TomYumGoong)と読みます.仕事で数学を使う電子・情報系人間.塾講師とは違った立場で気楽に,主に中学入試の算数と大学入試の数学の問題を眺めていこうと思っています.

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