【京都大学2021年度前期入試数学(理系)第5問】解けない人がいるの？

京都大学(理系)の数学，第5問までザコキャラです．まだ Mathlog ではアップしていない第6問の問2が唯一面白く，入試問題らしい問題ですが，それ以外は入試問題のレベルには程遠い問題ばかりで，コロナ禍とはいえ，入試になるのでしょうか？

問題

解答解説

(1) の解答

この問題を読んだ瞬間に，$\mathrm{△}\mathrm{ABC}$ の外心が原点で，A の範囲が原点を中心とする半径 $2$ の円周上の $y$ 座標が正の部分だということを掴んで欲しい．

条件 (＊) は何を言っているかというと，$\mathrm{\angle }\mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ で一定ということは，点A は 2点 B, C を通るある円上の点で，その円の中心を O' とおくと，$\mathrm{\angle }{\mathrm{BO}}^{\prime }\mathrm{C}=2\mathrm{\angle }\mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ だということ．

さらにいうと，O' は辺 BC の垂直二等分線上にあり，$\mathrm{\angle }\mathrm{BAC}<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ であることから，O' は $y$ 軸上で $y$ 座標が $-1$ よりも大きい(O' と A は直線 BC の同じ側にある)ことになります．

ここで，$\mathrm{\angle }\mathrm{BOC}$ の大きさを $\theta$ とおくと，余弦定理より ${\mathrm{BC}}^2={\mathrm{OB}}^2+{\mathrm{OC}}^2-2\cdot \mathrm{OB}\cdot \mathrm{OC}\cos \theta$ であるので，$12=4+4-2\times 2\times 2\cos \theta$ から $\cos \theta =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ となり，$0<\theta <\pi$ であることから $\theta ={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ となります．

三角形の外心は一意に定まることから，$\mathrm{O}={\mathrm{O}}^{\prime }$ すなわち，三角形 ABC の外心の座標は $(0,0)$ となります．

(2) の解答

問題の前に，点 A$(a,b)$ とおくと，A は原点を中心として半径 $\mathrm{OB}=2$ の円周上の $y$ 座標が正の領域にあるので，$a^2+b^2=4$ (ただし，$b>0$) を満たすことになります．

さて，点 A を通り直線 BC に垂直な直線の方程式は $x=a$ であり，点 B を通り直線 AC に垂直な直線の方程式は $(a-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})+(b+1)(y+1)=0$ であることから，2つの方程式を解くことで三角形 ABC の垂心は $(x,y)={\displaystyle (a,-1+\frac{3-a^2}{b+1})}$ となります．ここで，$b>0$ より $b+1\ne 0$ であることに注意してください．

$a^2+b^2=4$ より $3-a^2=b^2-1$ であることから，垂心の座標は $(x,y)=(a,-1+(b-1))=(a,b-2)$ となります．したがって，$(a,b)=(x,y+2)$ を $a^2+b^2=4$ に代入することによって，垂心の軌跡として $x^2+(y+2{)}^2=4$ が得られます．ただし，$b=y+2>0$ より $y>-2$ である必要があります．

感想

小問 (1) でどこまで書けば十分なのかが不明ですが，それほど難しい問題ではないように思います．

というか，今年の京大の問題はどれも易しい．冒頭に書いた通り，第6問の問2のみが入試になる問題で，それ以外は基本問題と呼んでいい．これで入試になるのかが疑問になるくらいです．早稲田大学のときと同じような印象を抱いております．

要するに，それだけ全体のレベルが落ちているんだろうなと，理系の人間としては残念な気持ちです．

注意して欲しいのは、この状況はゆとり教育の影響もあるのかもしれませんが，それ以上に少子化の影響の方が大きいということです．そのことはいずれ機会があれば．