【京都大学2021年度前期入試数学(理系)第5問】解けない人がいるの？

京都大学(理系)の数学，第5問までザコキャラです．まだ Mathlog ではアップしていない第6問の問2が唯一面白く，入試問題らしい問題ですが，それ以外は入試問題のレベルには程遠い問題ばかりで，コロナ禍とはいえ，入試になるのでしょうか？

問題

解答解説

(1) の解答

この問題を読んだ瞬間に，$\triangle \mathrm{ABC}$ の外心が原点で，A の範囲が原点を中心とする半径 $2$ の円周上の $y$ 座標が正の部分だということを掴んで欲しい．

条件 (＊) は何を言っているかというと，$\angle \mathrm{BAC} = \displaystyle\frac{\pi}{3}$ で一定ということは，点A は 2点 B, C を通るある円上の点で，その円の中心を O' とおくと，$\angle \mathrm{BO'C} = 2\angle \mathrm{BAC} = \displaystyle\frac{2\pi}{3}$ だということ．

さらにいうと，O' は辺 BC の垂直二等分線上にあり，$\angle \mathrm{BAC} < \displaystyle\frac{\pi}{2}$ であることから，O' は $y$ 軸上で $y$ 座標が $-1$ よりも大きい(O' と A は直線 BC の同じ側にある)ことになります．

ここで，$\angle \mathrm{BOC}$ の大きさを $\theta$ とおくと，余弦定理より $\mathrm{BC}^2 = \mathrm{OB}^2 + \mathrm{OC}^2 - 2\cdot \mathrm{OB}\cdot \mathrm{OC}\cos\theta$ であるので，$12 = 4 + 4 - 2 \times 2 \times 2 \cos \theta$ から $\cos \theta = -\displaystyle\frac{1}{2}$ となり，$0 < \theta < π$ であることから $\theta = \displaystyle\frac{2π}{3}$ となります．

三角形の外心は一意に定まることから，$\mathrm{O} = \mathrm{O'}$ すなわち，三角形 ABC の外心の座標は $(0, 0)$ となります．

(2) の解答

問題の前に，点 A$(a,b)$ とおくと，A は原点を中心として半径 $\mathrm{OB} = 2$ の円周上の $y$ 座標が正の領域にあるので，$a^2 + b^2 = 4$ (ただし，$b>0$) を満たすことになります．

さて，点 A を通り直線 BC に垂直な直線の方程式は $x = a$ であり，点 B を通り直線 AC に垂直な直線の方程式は $(a-\sqrt{3})(x + \sqrt{3}) + (b+1) (y+1) = 0$ であることから，2つの方程式を解くことで三角形 ABC の垂心は $(x, y) = \displaystyle\left(a, -1 + \frac{3 - a^2}{b+1}\right)$ となります．ここで，$b > 0$ より $b + 1 \ne 0$ であることに注意してください．

$a^2 + b^2 = 4$ より $3 - a^2 = b^2 - 1$ であることから，垂心の座標は $(x, y) = (a, -1 + (b - 1)) = (a, b - 2)$ となります．したがって，$(a, b) = (x, y + 2)$ を $a^2 + b^2 = 4$ に代入することによって，垂心の軌跡として $x^2 + (y + 2)^2 = 4$ が得られます．ただし，$b = y + 2 > 0$ より $y > -2$ である必要があります．

感想

小問 (1) でどこまで書けば十分なのかが不明ですが，それほど難しい問題ではないように思います．

というか，今年の京大の問題はどれも易しい．冒頭に書いた通り，第6問の問2のみが入試になる問題で，それ以外は基本問題と呼んでいい．これで入試になるのかが疑問になるくらいです．早稲田大学のときと同じような印象を抱いております．

要するに，それだけ全体のレベルが落ちているんだろうなと，理系の人間としては残念な気持ちです．

注意して欲しいのは、この状況はゆとり教育の影響もあるのかもしれませんが，それ以上に少子化の影響の方が大きいということです．そのことはいずれ機会があれば．