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p^p+q^qは素数か

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{coloneqq}[0]{\mathrel{\mathop:}=} \newcommand{div}[0]{\mathrm{div}} \newcommand{division}[0]{÷} \newcommand{grad}[0]{\mathrm{grad}\ } \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rot}[0]{\mathrm{rot}\ } \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

京大の2016年の入試で以下のような問題が出た。

素数$p,q$を用いて
$$p^q+q^p$$
と表される素数をすべて求めよ。

この問題の答えは$17=2^3+3^2$のみというものだった。

ここで、次のような問題が思い浮かんだ。

素数$p,q$を用いて
$$p^p+q^q$$
と表される素数をすべて求めよ。

今のところ見つかっている解は$3^3+2^2,\ 7^7+2^2,\ 43^{43}+2^2$
おそらくこれ以外に解はないと予想している。

以下、現在分かっていることを書く。

明らかに$p,q$のうち一方は$2$でもう一方は奇素数である。
$q=2$とすると、$p$$p=3,p=6n+1,p=6n-1$の3通りで場合分けできる。

$p=3$のときは$3^3+2^2=31$で素数

$p=6n-1$のときは$p^p+2^2\equiv (-1)^p+1\equiv 0\pmod 3$より不適。

以上より$p$として考えられるのは$3$もしくは$6n+1$型の素数のみ。

これ以上は目立った進歩はない。

ひょっとしたら3,7,43がヘーグナー数であることが関係しているかも?

ちなみに、プログラミングを利用して調べたのですが、
いまのところこの予想の反例となりうる最小の数は859^859+2^2で、その次に小さいのは2389^2389+2^2

誰か、この予想について分かったことがある人は教えていただきたいです。

投稿日:2021514

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wai572
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