大学数学基礎解説

【大阪大学2021年度前期入試数学(理系)第4問】積分の皮をかぶった整数問題

大学入試,整数問題

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第4問は積分問題のふりをした整数問題です．積分のことはあまり意識しなくてけっこうです．

問題

整数 $a$ , $b$ , $c$ に関する次の条件 $(*)$ を考える．
$\int_{a}^{c} (x^{2} + b x) d x = \int_{b}^{c} (x^{2} + a x) d x \dots (*)$

整数 $a$ , $b$ , $c$ が $(*)$ および $a \neq b$ をみたすとき， $c$ は $3$ の倍数であることを示せ．
$c = 3600$ のとき， $(*)$ および $a < b$ をみたす整数の組 $(a, b)$ の個数を求めよ．

解答解説

深く考えずに積分計算をした方が幸せです．

(1) の解答

$(*)$ の両辺を計算すると，
$\begin{aligned} 左辺 & = {[\frac{1}{3} x^{3} + \frac{b}{2} x^{2}]}_{a}^{c} = \frac{1}{3} (c^{3} - a^{3}) + \frac{b}{2} (c^{2} - a^{2}) \\ 左辺 & = {[\frac{1}{3} x^{3} + \frac{a}{2} x^{2}]}_{b}^{c} = \frac{1}{3} (c^{3} - b^{3}) + \frac{a}{2} (c^{2} - b^{2}) \end{aligned}$
となるので，左辺 $-$ 右辺を計算すると，
$\begin{aligned} 左辺 - 右辺 & = \frac{1}{3} (b^{3} - a^{3}) + \frac{c^{2}}{2} (b - a) + \frac{a b}{2} (b - a) \\ = \frac{1}{6} (b - a) {2 (a^{2} + a b + b^{2}) + 3 c^{2} + 3 a b} \end{aligned}$
である． $左辺 = 右辺$ すなわち $左辺 - 右辺 = 0$ であることから， $(b - a) {2 (a^{2} + a b + b^{2}) + 3 c^{2} + 3 a b} = 0$ であるが， $a \neq b$ より $2 (a^{2} + a b + b^{2}) + 3 c^{2} + 3 a b = 0$ である．

さて，この式から $2 (b - a)^{2} = - 3 c^{2} - 9 a b = - 3 (c^{2} + 3 a b)$ と変形でき， $a$ , $b$ , $c$ は整数であることから右辺は $3$ の倍数であるので， $(b - a)^{2}$ は $3$ の倍数でなければならない．したがって， $b - a$ も $3$ の倍数でなければならない．

そこで，ある整数 $p$ を用いて $b - a = 3 p$ と表すと， $3 c^{2} = - 18 p^{2} - 9 a b$ すなわち $c^{2} = - 6 p^{2} - 3 a b = - 3 (2 p^{2} - a b)$ であることから $c^{2}$ は $3$ の倍数でなければならないので， $c$ も $3$ の倍数でなければならない．

(2) の解答

$2 (a^{2} + a b + b^{2}) + 3 c^{2} + 3 a b = 0$ から $2 a^{2} + 5 a b + 2 b^{2} = - 3 c^{2}$ であるが， $2 a^{2} + 5 a b + 2 b^{2} = (2 a + b) (a + 2 b)$ であるので， $(2 a + b) (a + 2 b) = - 3 c^{2} = - 3 \times 3600^{2}$ である．

さてここで， $(a + 2 b) - (2 a + b) = b - a > 0$ であるが，(1) から $c$ が $3$ の倍数であるとき $b - a$ も $3$ の倍数であるので， $a + 2 b$ と $2 a + b$ をそれぞれ $3$ で割った余りは等しい．また， $(a + 2 b) (2 a + b)$ は $3$ の倍数であるので， $a + 2 b$ と $2 a + b$ はともに $3$ の倍数である．

整数 $q$ , $r$ (ただし $q > r$ ) に対して $a + 2 b = 3 q$ , $2 a + b = 3 r$ とおくと， $3 (a + b) = 3 (q + r)$ より $a + b = q + r$ となり， $a = 2 r - q$ , $b = 2 q - r$ と整数解 $(a, b)$ が得られるので， $(a + 2 b) (2 a + b) = 9 q r = - 3 \times 3600^{2}$ すなわち $q r = - 3 \times 1200^{2}$ となる整数の組 $(q, r)$ の個数を求めればよい．

$q r < 0$ かつ $q > r$ であることから， $q > 0 > r$ となるので， $q$ は $3 \times 1200^{2}$ の正の約数である．そのそれぞれに整数 $r$ が $1$ つ定まるので， $q r = - 3 \times 1200^{2}$ となる整数の組 $(q, r)$ の個数は $3 \times 1200^{2}$ の正の約数の個数に等しい． $3 \times 1200^{2} = 3 \times (2^{4} \times 3 \times 5^{2})^{2} = 2^{8} \times 3^{3} \times 5^{4}$ より， $3 \times 1200^{2}$ の正の約数の個数は $9 \times 4 \times 5 = 180$ 個ある．よって，条件をみたす整数の組 $(a, b)$ の個数は $180$ 個である．

感想

この問題はあまりきれいに解こうと考えない方がいいです．素直に積分の計算をして， $a$ , $b$ , $c$ からなる方程式を出してみることです．考えるのはそれから．

実際に $2 (a^{2} + a b + b^{2}) + 3 c^{2} + 3 a b = 0$ という方程式を出してみると， $2 (a^{2} + a b + b^{2})$ 以外の項は $3$ の倍数なので， $a$ と $b$ に関して何か条件が定まることが予想されます．そこで， $a^{2} + a b + b^{2}$ の部分から $(a + b)^{2}$ か $(b - a)^{2}$ の形を無理やり作って残りの形を見たくなると思います．