【大阪大学2021年度前期入試数学(理系)第4問】積分の皮をかぶった整数問題

第4問は積分問題のふりをした整数問題です．積分のことはあまり意識しなくてけっこうです．

問題

解答解説

深く考えずに積分計算をした方が幸せです．

(1) の解答

$(*)$ の両辺を計算すると，
\begin{align} \mbox{左辺}&=\left[\frac{1}{3}x^3+\frac{b}{2}x^2\right]_{a}^{c}=\frac{1}{3}(c^3-a^3)+\frac{b}{2}(c^2-a^2)\\ \mbox{左辺}&=\left[\frac{1}{3}x^3+\frac{a}{2}x^2\right]_{b}^{c}=\frac{1}{3}(c^3-b^3)+\frac{a}{2}(c^2-b^2) \end{align}
となるので，左辺 $-$ 右辺 を計算すると，
\begin{align} \mbox{左辺}-\mbox{右辺} &=\frac{1}{3}(b^3-a^3)+\frac{c^2}{2}(b-a)+\frac{ab}{2}(b-a)\\ &=\frac{1}{6}(b-a)\{2(a^2+ab+b^2)+3c^2+3ab\} \end{align}
である．$\mbox{左辺} = \mbox{右辺}$ すなわち $\mbox{左辺} - \mbox{右辺} = 0$ であることから，$(b-a)\{2(a^2+ab+b^2)+3c^2+3ab\}=0$ であるが，$a\ne b$ より $2(a^2+ab+b^2)+3c^2+3ab=0$ である．

さて，この式から $2(b-a)^2 = -3c^2 - 9ab = -3(c^2 + 3ab)$ と変形でき，$a$, $b$, $c$ は整数であることから右辺は $3$ の倍数であるので，$(b-a)^2$ は $3$ の倍数でなければならない．したがって，$b-a$ も $3$ の倍数でなければならない．

そこで，ある整数 $p$ を用いて $b-a=3p$ と表すと，$3c^2 = -18p^2 - 9ab$ すなわち $c^2 = -6p^2 - 3ab = -3(2p^2-ab)$ であることから $c^2$ は $3$ の倍数でなければならないので，$c$ も $3$ の倍数でなければならない．

(2) の解答

$2(a^2+ab+b^2)+3c^2+3ab=0$ から $2a^2 + 5ab + 2b^2 = -3c^2$ であるが，$2a^2 + 5ab + 2b^2 = (2a + b)(a + 2b)$ であるので，$(2a + b)(a + 2b) = -3c^2 = -3\times 3600^2$ である．

さてここで，$(a+2b)-(2a+b)=b-a>0$ であるが，(1) から $c$ が $3$ の倍数であるとき $b-a$ も $3$ の倍数であるので，$a+2b$ と $2a+b$ をそれぞれ $3$ で割った余りは等しい．また，$(a+2b)(2a+b)$ は $3$ の倍数であるので，$a+2b$ と $2a+b$ はともに$3$ の倍数である．

整数 $q$, $r$ (ただし $q>r$) に対して $a+2b=3q$, $2a+b=3r$ とおくと，$3(a+b)=3(q+r)$ より $a+b=q+r$ となり，$a=2r-q$, $b=2q-r$ と整数解 $(a,b)$ が得られるので，$(a+2b)(2a+b)=9qr=-3\times 3600^2$ すなわち $qr = -3\times 1200^2$ となる整数の組 $(q,r)$ の個数を求めればよい．

$qr<0$ かつ $q>r$ であることから，$q>0>r$ となるので，$q$ は $3\times 1200^2$ の正の約数である．そのそれぞれに整数 $r$ が$1$ つ定まるので，$qr = -3\times 1200^2$ となる整数の組 $(q,r)$ の個数は $3\times 1200^2$ の正の約数の個数に等しい．$3\times 1200^2=3\times(2^4\times 3\times 5^2)^2=2^8\times 3^3\times 5^4$ より，$3\times 1200^2$ の正の約数の個数は $9\times 4\times 5=180$個ある．よって，条件をみたす整数の組 $(a,b)$ の個数は $180$個である．

感想

この問題はあまりきれいに解こうと考えない方がいいです．素直に積分の計算をして，$a$, $b$, $c$ からなる方程式を出してみることです．考えるのはそれから．

実際に $2(a^2+ab+b^2)+3c^2+3ab=0$ という方程式を出してみると，$2(a^2+ab+b^2)$ 以外の項は $3$ の倍数なので，$a$ と $b$ に関して何か条件が定まることが予想されます．そこで，$a^2+ab+b^2$ の部分から $(a+b)^2$ か $(b-a)^2$ の形を無理やり作って残りの形を見たくなると思います．

上記の (1) はそのような考えに基づいて変形しております．あとは自然な議論で進めています．

後半である (2) は $c$ に具体的な値が代入されているので，$2a^2+5ab+2b^2$ の部分を積の形で表したいと考えて因数分解を行っています．これは整数問題の定石ともいえる手法です．

そのことさえ分かれば，あとは難しい議論ではないと思います．とはいえ，整数問題は昔から鬼門であり，(2) どころか (1) でつまずいた受験生も多かったかもしれません．