有限長モジュラー束について

[$\phi$と$\psi$はwell-defined]
$x \in [a \wedge b, b]$を取る。
$a \le x \vee a$である。
$x \le b$だから、$x \vee a \le a \vee b$
よって、$\phi(x) \in [a,a \vee b]$

$y \in [a,a \vee b]$を取る。
$y \wedge b \le b$である。
$a \le y$だから、$ a \wedge b \le y \wedge b$
よって、$\psi(y) \in [a \wedge b, b]$

[$\phi$と$\psi$は順序を保つ]
明らか。

[$\psi \circ \phi = \id_{[a \wedge b, b]}$]
$x \in [a \wedge b, b]$を取る。
$x \le b$だから、モジュラー律より、
$\psi(\phi(x)) = (x \vee a) \wedge b = x \vee (a \wedge b)$
また、$a \wedge b \le x$だから、
$\psi(\phi(x)) = x$

[$\phi \circ \psi = \id_{[a,a \vee b]}$]
$y \in [a, a \vee b]$を取る。
$a \le y$だから、モジュラー律より、
$\phi(\psi(y)) = (y \wedge b) \vee a = y \wedge (b \vee a)$
また、$y \le a \vee b$だから、
$\phi(\psi(y)) = y$

(上半)
$L$:上半束
$a,b \in L$
$x,y \in [a,b]$を取る。

$a \le x,y$より、$a \le x \vee y$
$x,y \le b$より、$x \vee y \le b$

従って、$x \vee y \in [a,b]$

(下半)
略

$a \le a \vee b \le c$であるから、$a \vee b = a$または$c$である。

$a \vee b = a$と仮定すると、$b \le a \lt c$となり、$b \prec c$であるから、これは$a \not= b$に矛盾。

よって、$a \vee b = c$

モジュラー束であるから、有限極大鎖を一つでも持てば、ACCとDCCを満たし、ゆえに全ての鎖は有限である。

「モジュラー束が濃度$n$の有限極大鎖を持てば、全ての有限極大鎖の長さは$n$である」を全ての$n \in \mathbb{N}$について示す。
$n$に関する帰納法で示す。

[$n=0$の時]
濃度$0$の有限極大鎖を持つモジュラー束$L$を取る。
$L$は空集合であり、全ての有限極大鎖は空である。

[$n=1$の時]
濃度1の有限極大鎖を持つモジュラー束$L$を取る。
$L$は束であるから、一点集合であり、全ての有限極大鎖は一点集合である。

[$n< k$で成り立つ⇒$n=k$で成り立つ]
$n< k$で成り立つとする。

濃度$k$の有限極大鎖を持つモジュラー束$L$を取る。

$L$の有限極大鎖を2つ取り、
$C:0 = x_0 \prec x_1 \prec \cdots \prec x_{k-2} \prec x_{k-1} = 1$
$D:0 = y_0 \prec y_1 \prec \cdots \prec y_{m-2} \prec y_{m-1} = 1$
と表す。

$k=m$を示す。

[$x_{k-2} = y_{m-2}$の場合]
$[0,x_{k-2}] = [0,y_{m-2}]$である。
$0 = x_0 \prec x_1 \prec \cdots \prec x_{k-2}$は$[0,x_{k-2}]$の有限極大鎖であり、
$0 = y_0 \prec y_1 \prec \cdots \prec y_{m-2}$は$[0,y_{m-2}]$の有限極大鎖である。
よって、帰納法の仮定より、$k-1 = m-1$だから、$k=m$

[$x_{k-2} \not= y_{m-2}$の場合]
$x_{k-2} \prec 1$かつ$y_{m-2} \prec 1$より、$x_{k-2} \vee y_{m-2} = 1$

$z = x_{k-2} \wedge y_{m-2}$と置くとダイヤモンド同型定理より、
$[x_{k-2} \wedge y_{m-2},y_{m-2}] \simeqord [x_{k-2}, x_{k-2} \vee y_{m-2}]$
即ち、$[z,y_{m-2}] \simeqord [x_{k-2}, 1] = \{x_{k-2},1\}$
よって、$z \prec y_{m-2}$
また、$[x_{k-2} \wedge y_{m-2},x_{k-2}] \simeqord [y_{m-2}, x_{k-2} \vee y_{m-2}]$でもあるから、
$z \prec x_{k-2}$

$$ \xymatrix{ & 1 & \\ x_{k-2} \ar@/_1pc/@{-}[rddd] \ar@{-}[ru] & & y_{m-2} \ar@/^1pc/@{-}[lddd] \ar@{-}[lu] \\ & z \ar@{-}[lu] \ar@{-}[ru] \ar@{-}[dd] & \\ & & \\ & 0 & } $$

$[0,z]$もモジュラー束であり、ACCとDCCを満たすから、有限極大鎖$E$を持つ。

$E\cup\{x_{k-2}\}$は$[0,x_{k-2}]$の有限極大鎖だから、帰納法の仮定より、その濃度は$k-1$
従って、$E$の濃度は$k-2$

一方、$E\cup\{y_{m-2}\}$の濃度は$k-1$であり、帰納法の仮定から、$[0,y_{m-2}]$の有限極大鎖の濃度は$k-1$

ゆえに、$m=k$

従って、数学的帰納法より、任意の$n \in \mathbb{N}$に対し、モジュラー束が濃度$n$の有限極大鎖を持てば、全ての極大鎖の濃度は$n$である。

[$(a,b) \sim (c,d) ⇒ [a,b]\simeqord[c,d]$]

ダイヤモンド同型定理より、
$[b \wedge c, b] \simeqord [c, b \vee c]$

この時、$(a,b) \sim(c,d)$とすると、$b \vee c = d$かつ$b \wedge c = a$だから、
$[a,b] \simeqord [c,d]$

定義をよく見る。

この関係を成り立たせる最小の同値関係を$\sim^*$と言っている。

「濃度$n$の有限極大鎖をもつモジュラー束に対してそのような置換が存在する」を全ての$n \in \mathbb{N}$に対して示す。
$n$に関する帰納法で示す。

[$n=0$の時]
濃度$0$の有限極大鎖をもつモジュラー束$P$を取る。
$P$は空である。空写像$\sigma \in \mathfrak{S}_0$が条件を満たす。

[$n=1$の時]
濃度$1$の有限極大鎖をもつモジュラー束$P$を取る。
$P$は一点集合である。恒等写像$e \in \mathfrak{S}_1$が条件を満たす。

[$n=2$の時]
濃度$2$の有限極大鎖をもつモジュラー束$P$を取る。
$P$は二点集合である。恒等写像$e \in \mathfrak{S}_2$が条件を満たす。

[$n=3$の時]
濃度$3$の有限極大鎖をもつモジュラー束$P$を取る。
2つの有限極大鎖を取る。
$0 \prec x \prec 1$
$0 \prec y \prec 1$

[$x=y$の時]
恒等写像$e \in \mathfrak{S}_3$を取ればよい。

[$x\not=y$の時]
ダイヤモンド補題より
$(0,x) \sim^*(y,1)$
$(0,y) \sim^*(x,1)$

$\sigma$として、$1$と$2$を入れ替える置換を取ればよい。

[$n< k$で成り立つ ⇒ $n = k$で成り立つ]
$n< k$で成り立つとする。

濃度$k$の有限極大鎖をもつモジュラー束$P$を取る。

$P$の有限極大鎖を2つ取り、
$C:0 = x_0 \prec x_1 \prec \cdots \prec x_{k-2} \prec x_{k-1} = 1$
$D:0 = y_0 \prec y_1 \prec \cdots \prec y_{k-2} \prec y_{k-1} = 1$
と表す。

[$x_{k-2} = y_{k-2}$の場合]
$[0,x_{k-2}] = [0,y_{k-2}]$である。
$0 = x_0 \prec x_1 \prec \cdots \prec x_{k-2}$は$[0,x_{k-2}]$の有限極大鎖であり、
$0 = y_0 \prec y_1 \prec \cdots \prec y_{k-2}$は$[0,y_{k-2}]$の有限極大鎖である。

よって、帰納法の仮定より、ある$\tau \in \mathfrak{S}_{k-2}$が存在して、全ての$0 \le i \le k-3$に対し、$(x_i,x_{i+1}) \sim^*(y_{\tau(i)},y_{\tau(i)+1})$

$(x_{k-2},1)=(y_{k-2},1)$だから、反射律より、$(x_{k-2},1)\sim^*(y_{k-2},1)$

よって、
$\sigma(i)= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \tau(i)\ (0 \le i \le k-3) \\ k-2 \ (i = k-2) \end{array} \right. \end{eqnarray} $
と定めると、全ての$0 \le i \le k-2$に対し、$(x_i,x_{i+1}) \sim^*(y_{\sigma(i)},y_{\sigma(i)+1})$

[$x_{k-2} \not= y_{k-2}$の場合]
$x_{k-2} \prec 1$かつ$y_{k-2} \prec 1$より、$x_{k-2} \vee y_{k-2} = 1$
$z = x_{k-2} \wedge y_{k-2}$と置くと、ダイヤモンド補題より、
$(z,x_{k-2}) \sim^*(y_{k-2},1)$
$(z,y_{k-2}) \sim^*(x_{k-2},1)$

$[0,z]$の有限極大鎖を一つ取り、$E$とする。
$E:0 = z_0 \prec z_1 \prec \cdots \prec z_{k-3} = z$

$$ \xymatrix{ & 1 & \\ x_{k-2} \ar@/_1pc/@{-}[rddd] \ar@{-}[ru] & & y_{k-2} \ar@/^1pc/@{-}[lddd] \ar@{-}[lu] \\ & z_{k-3} \ar@{-}[lu] \ar@{-}[ru] \ar@{-}[dd] & \\ & & \\ & 0 & } $$

$C':0 = c_0 = z_0 \prec c_1 = z_1 \prec \cdots \prec c_{k-3} = z_{k-3} \prec c_{k-2} = x_{k-2} \prec c_{k-1} = 1$
$D':0 = d_0 = z_0 \prec d_1 = z_1 \prec \cdots \prec d_{k-3} = z_{k-3} \prec d_{k-2} = y_{k-2} \prec c_{k-1} = 1$
と置く。

[$C$と$C'$の比較]
$C$と$C'$は共に$[0,x_{k-2}]$の極大鎖に$1$を付け加えたもの。

$x_{k-2}$以下の部分を見ると、それぞれ濃度$k-1$の極大鎖であるから、帰納法の仮定より、ある置換$\tau$があって、任意の$0 \le i \le k-3$に対し、$(x_i,x_{i+1}) \sim^* (c_{\tau(i)},c_{\tau(i)+1})$

$[x_{k-2},1]$の部分は共有しているから、$\tau$に$k-2$を$k-2$に送るという条件を付け加えたものを$\sigma_C$とすれば、任意の$0 \le i \le k-2$に対し、$(x_i,x_{i+1}) \sim^* (c_{\sigma_C(i)},c_{\sigma_C(i)+1})$

[$D$と$D'$の比較]
同様に、ある$\sigma_D$があって、任意の$0 \le i \le k-2$に対し、$(d_i,d_{i+1}) \sim^* (y_{\sigma_D(i)},y_{\sigma_D(i)+1})$

[$C'$と$D'$の比較]
$z$以下の部分は共有している。

$C'$の上部:$(z,x_{k-2}),(x_{k-2},1)$
$D'$の上部:$(z,y_{k-2}),(y_{k-2},1)$
を見ると、さっき言ったように
$(z,x_{k-2}) \sim^* (y_{k-2},1)$
$(z,y_{k-2}) \sim^* (x_{k-2},1)$
だから、
$k-4$以下は恒等で、$k-3$と$k-2$を入れ替える置換を$\sigma_E$とすれば、任意の$0 \le i \le k-2$に対し、$(c_i,c_{i+1}) \sim^* (d_{\sigma_E(i)},d_{\sigma_E(i)+1})$

[比較終了]
よって、$\sigma = \sigma_D \circ \sigma_E \circ \sigma_C$と置けば、任意の$0 \le i \le k-2$に対し、$(x_i,x_{i+1}) \sim^* (c_{\sigma_C(i)},c_{\sigma_C(i)+1}) \sim^* (d_{\sigma_E\sigma_C(i)},d_{\sigma_E\sigma_C(i)+1}) \sim^* (y_{\sigma_D\sigma_E\sigma_C(i)},y_{\sigma_D\sigma_E\sigma_C(i)+1})$

従って、数学的帰納法より、任意の$n \in \mathbb{N}$に対し、条件を満たす置換が存在する。

ACCとDCCは部分順序集合へ遺伝する。
モジュラー性は部分束へ遺伝する。
$↑^La$と$↓^La$は部分束である。

[$a\le b$の場合]
$\rank(a \vee b) + \rank(a \wedge b) = \rank(b) + \rank(a)$

[$a \ge b$の場合]
$\rank(a \vee b) + \rank(a \wedge b) = \rank(a) + \rank(b)$

[$a$と$b$が比較不能の場合]
$$ \xymatrix{ & a \vee b & \\ a \ar@{-}[ru]|-{d} & & b \ar@{-}[lu]|-{c} \\ & a \wedge b \ar@{-}[lu]|-{c} \ar@{-}[ru]|-{d} \ar@{-}[dd]|-{n} & \\ & & \\ & 0 & } $$

$n = \rank(a \wedge b)$
$c = \rho([a \wedge b, a])$
$d = \rho([a, a \vee b])$
と置く。

ダイヤモンド同型定理より、
$\rho([b, a \vee b]) = c$
$\rho([a \wedge b, b]) = d$

従って、
$\rank(a) = n+c$
$\rank(b) = n+d$
$\rank(a \vee b) = n+c+d$

ゆえに、
$\rank(a \vee b) + \rank(a \wedge b) = \rank(a) + \rank(b)$