sqrt(a^2-x^2)の積分

$ \int \sqrt{a^2-x^2} dx$ (a>0) の積分

$ \int \sqrt{a^2-x^2} dx$
部分積分を利用
= $ \int 1 \cdot\sqrt{a^2-x^2} dx$
= $ x\sqrt{a^2-x^2} dx - \int\frac{-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} dx$　
= $ x\sqrt{a^2-x^2} dx - \int\frac{a^2-x^2-a^2}{\sqrt{a^2-x^2}} dx$　
= $ x\sqrt{a^2-x^2} dx - \int\sqrt{a^2-x^2} dx + \int\frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}} dx$

= $ x\sqrt{a^2-x^2} dx - \int\sqrt{a^2-x^2} dx + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a}$

よって、
$ \int \sqrt{a^2-x^2} dx = x\sqrt{a^2-x^2} dx - \int\sqrt{a^2-x^2} dx + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a}$
与式 $= I$とすると
$ I = x\sqrt{a^2-x^2} dx - I + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a}$
$I$について整理し
$ 2I = x\sqrt{a^2-x^2} dx + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a}$
$ I = \frac{1}{2}(x\sqrt{a^2-x^2} dx + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a})$
積分定数を追加し
$ I = \frac{1}{2}(x\sqrt{a^2-x^2} dx + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a})+C$

したがって
$ \int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{1}{2}(x\sqrt{a^2-x^2} dx + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a})+C$
となる