sqrt(a^2-x^2)の積分

$\int \sqrt{a^2-x^2}dx$ (a>0) の積分

$\int \sqrt{a^2-x^2}dx$
部分積分を利用
= $\int 1\cdot \sqrt{a^2-x^2}dx$
= $x\sqrt{a^2-x^2}dx-\int \frac{-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$　
= $x\sqrt{a^2-x^2}dx-\int \frac{a^2-x^2-a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$　
= $x\sqrt{a^2-x^2}dx-\int \sqrt{a^2-x^2}dx+\int \frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$

= $x\sqrt{a^2-x^2}dx-\int \sqrt{a^2-x^2}dx+a^2{\sin }^{-1}\frac{x}{a}$

よって、
$\int \sqrt{a^2-x^2}dx=x\sqrt{a^2-x^2}dx-\int \sqrt{a^2-x^2}dx+a^2{\sin }^{-1}\frac{x}{a}$
与式 $=I$とすると
$I=x\sqrt{a^2-x^2}dx-I+a^2{\sin }^{-1}\frac{x}{a}$
$I$について整理し
$2I=x\sqrt{a^2-x^2}dx+a^2{\sin }^{-1}\frac{x}{a}$
$I=\frac{1}{2}(x\sqrt{a^2-x^2}dx+a^2{\sin }^{-1}\frac{x}{a})$
積分定数を追加し
$I=\frac{1}{2}(x\sqrt{a^2-x^2}dx+a^2{\sin }^{-1}\frac{x}{a})+C$

したがって
$\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{a^2-x^2}dx+a^2{\sin }^{-1}\frac{x}{a})+C$
となる