【京都大学2021年度前期入試数学(文系)第2問】教科書に載ってそうな定積分の問題

京大文系数学の第2問です．定積分の問題ですが，教科書レベルの簡単な問題です．この問題が解けない受験生がいるんですか？

問題

解答解説

最初に $f(x)=\displaystyle x^2 - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} = \left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 1)$ なので，$f(x)$ は $x = -\displaystyle\frac{1}{2}$ で正負が変わります．$-1 \leqq x \leqq -\displaystyle\frac{1}{2}$ で $f(x)\geqq 0$, $-\displaystyle\frac{1}{2}\leqq x \leqq 1$ で $f(x)\leqq 0$ となるので，次のようになります．
\begin{align} \int_{-1}^{1} \left|x^2 - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}\right| dx &=\int_{-1}^{-\frac{1}{2}} \left(x^2 - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}\right) dx+\int_{-\frac{1}{2}}^{1} \left(-x^2 + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}\right) dx\\ &=\int_{-1}^{-\frac{1}{2}} \left(x+\frac{1}{2}\right)(x-1) dx-\int_{-\frac{1}{2}}^{1} \left(x + \frac{1}{2}\right)(x-1) dx\\ &=\frac{1}{2}\left[\left(x+\frac{1}{2}\right)^2(x-1)\right]_{-1}^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}\int_{-1}^{-\frac{1}{2}}\left(x+\frac{1}{2}\right)^2dx\\ &　　　　　-\frac{1}{2}\left[\left(x+\frac{1}{2}\right)^2(x-1)\right]_{-\frac{1}{2}}^{1}+\frac{1}{2}\int_{-\frac{1}{2}}^{1}\left(x+\frac{1}{2}\right)^2dx\\ &=\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\left[\left(x+\frac{1}{2}\right)^3\right]_{-1}^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{6}\left[\left(x+\frac{1}{2}\right)^3\right]_{-\frac{1}{2}}^{1}\\ &=\frac{1}{4}-\frac{1}{48}+\frac{27}{48} =\frac{6}{24}+\frac{13}{24}=\frac{19}{24} \end{align}

感想

これも単純な計算問題です．せめて $x^2 - \displaystyle\frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ が簡単に因数分解できないくらいの難しさにして欲しかった．これでは本当に教科書レベルの演習問題で，いくら文系と言えども出来ない人がいるわけないでしょとツッコミたくなります．

これ，冗談抜きで，まじめに解答を書いても5分です．そういうレベル．

上では $0$ の部分を多く作りたいために因数分解を利用して積分していますが，普通に計算しても大したことはないです．

最近ではよく知られている公式 $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx =-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$ を使ってもかまわないですが，単に丸暗記して利用するのは極力やめてください．自分で証明できない道具なんか使っても意味がないですし，そのようなアプローチを続ければ間違いなく数学が苦手になります．