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大学数学基礎解説
文献あり

分数階Fourier変換

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分数階Fourier変換

分数階Fourier変換(Fractional Fourier transform)の紹介をします.

分数階Fourier変換の積分表示

fL2(R)に対し, 1次元のFourier変換を周波数タイプで定義しておきます:
F[f](ξ)=Rf(x)e2πixξdx.
つまり, ξは周波数(Hz)の性質を持っています. 周波数タイプのFは定数倍のズレがないL2(R)上のユニタリー作用素でした.

また, Fourier変換には以下のような4周期の自己同型性がありました:
IFPI.
ここでPは時間反転のパリティ作用素です. この矢印の狭間に向かう作用素として分数階Fourier変換(FrFT)を定義しましょう. つまり, FrFTは関数を時間空間と周波数空間の†狭間の世界†に送ります.

あまり難しい話をしても疲れるので, Fの固有関数は次のHermite-Gauss関数ψであることを認めておきましょう:
F[ψ]=eiπ2ψ.
ここで, Hermite-Gauss関数とはRodriguesの公式によるHermite多項式
H(x)=(1)ex2ddxex2
を用いて
ψ(x)=2142!H(2πx)eπx2で定義されるものです.

次の一般化は妥当でしょう.

FrFT-1

a階のFrFTFa
Fa[ψ]=(eiπ2)aψ
を満たすものとして定義する.

この定義だけを見れば, FrFTは固有関数の選び方に依っています. しかし, 実はHermite-Gauss関数系はL2(R)の正規直交基底になっています! 量子論などでHermite多項式の直交性などを見たことがある人にとっては「そうなんだ」となりますが, そうでない人にとっては驚きでしょう.

つまり, 任意の関数fL2(R)
f==0cψ,c=Rf(x)ψ(x)dx
と展開することができます. この両辺にFrFT-1のFaを作用させることで, 形式的に
Fa[f](x)==0{Rf(x)ψ(x)dx}eiaπ2ψ(x)=Rf(x)(=0ψ(x)ψ(x)eiaπ2)dx=:Rf(x)K(a;x,x)dx
を得ます.

積分核を具体的に計算すれば, 陽なFrFTの定義を得ることができますが, 果たしてこんなものを計算できるのでしょうか?

実は, Mehlerの公式という素晴らしいものが存在していて, これを助けてくれます. Mehler核の証明は省略しますが, 結果として次を得ます.

FrFT-2

積分核は以下で表される:
K(a;x,x)=1icotaπ2exp[iπ(cotaπ2x22cscaπ2xx+cotaπ2x2)].
これを用いて,a階のFrFTは次で表される:
Fa[f](x)=Rf(x)K(a;x,x)dx.

積分核はaの値による特異性を持つため, jを整数として以下のように場合分けをしておきましょう:
K(a;x,x)={1icotaπ2exp[iπ(cotaπ2x22cscaπ2xx+cotaπ2x2)](a2j),δ(xx)(a=4j),δ(x+x)(a=4j±2).
L2(R)でデルタ関数なんて絶対許さないマンは積分核表示をしなければ回避できます. また, 文献によってはα:=aπ/2とし,α階で考えることもあります. 根号における偏角を気にするならば(π/2,π/2]で主値を選びましょう.

a=1のとき

通常のFourier変換と一致して欲しい! K(1;x,x)を書き下すと
K(1;x,x)=1icotπ2exp[iπ(cotπ2x22cscπ2xx+cotπ2x2)]=exp[iπ(2xx)]
となり, 確かに一致しました! ただし, cotπ/2=0としたことに注意しましょう.

参考文献

[2]
H. M. Ozaktas, Z. Zalevsky, M. A. Kutay, The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing, Wiley, 2001
投稿日:2021518
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