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【大阪大学2021年度前期入試数学(理系)第5問】正弦関数と2か所で接する直線の問題

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阪大(理系)の数学も最後の1問となりました.曲線 y=sinx2 箇所で接する直線の特徴づけを行う問題ですが,得られた式をどのように処理するかがポイントです.

問題

次の問に答えよ.

  1. a を実数とする.x についての方程式 xtanx=a の実数解のうち,|x|<π2 をみたすものがちょうど 1 個あることを示せ.

  2. 自然数 n に対し,xtanx=nπ かつ |x|<π2 をみたす実数 xxn とおく.t|t|<π2 をみたす実数とする.このとき,曲線 C:y=sinx 上の点 P(t,sint) における接線が,不等式 xπ2 の表す領域に含まれる点においても曲線 C と接するための必要十分条件は,tx1,x2,x3, のいずれかと等しいことであることを示せ.

解答解説

(1) の解答

とりあえず,f(x)=xtanx とおいて f(x) を微分してみます.
f(x)=1cos2x+sin2xcos2x=sin2xcos2x=tan2x0
となります.

したがって,f(x)|x|<π2 の範囲で単調減少関数であり,limxπ2+0f(x)=+ かつ limx+π20f(x)= であるので,任意の実数 a に対して f(x)=xtanx=a かつ |x|<π2 をみたす実数解 x はちょうど 1 個である.

(2) の解答

P における 曲線 C の接線が 点Q(s,sins) (ただしsπ2) でも接すると仮定する.このとき,y=cosx であることから,P における C の接線の方程式は
y=(cost)(xt)+sint=(cost)x+(sinttcost),
Q における C の接線の方程式は
y=(coss)(xs)+sins=(coss)x+(sinsscoss)
で表される.こられ 2 つの方程式が同一になればよいので
cost=coss,sinttcost=sinsscoss
である.したがって,cost=coss, |t|<π2, sπ2 より, ある自然数 n に対して s=t+2nπ もしくは s=t+2nπ である.

  • s=t+2nπ のとき,sinttcost=sinsssins に代入すると,
    sinttcost=sin(t+2nπ)(t+2nπ)cos(t+2nπ)=sint(t+2nπ)cost
    から cost=0 となるが,|t|<π2 であるとき cost0 であり,条件を満たす t は存在しない.

  • s=t+2nπ のとき,sinttcost=sinsscoss に代入すると,
    sinttcost=sin(t+2nπ)(t+2nπ)cos(t+2nπ)=sint(t+2nπ)cost
    であるので,2(sinttcost)=2nπcost が得られ,両辺を 2cost<0 で割ると ttant=nπ が得られる.したがって,t=xnである.

以上のことから,tx1,x2,x3, のいずれかである.

逆に,tx1,x2,x3, のいずれかであるならば,t=xn である自然数 n が存在し,s=xn+2nπ とおくことで,今の逆の議論から cost=coss かつ sinttcost=sinsssins が成り立ち,PQ における C の接線の方程式は等しくなる.

よって,曲線 C:y=sinx 上の点 P(t,sint) における接線が,不等式 xπ2 の表す領域に含まれる点においても曲線 C と接するための必要十分条件は,tx1,x2,x3, のいずれかと等しいことである.

感想

cost=coss かつ sinttcost=sinsscoss が得られてからどのように処理するかが問題となりそうですが,書き方はいろいろとあれど,基本的には解答のように,cost=coss から st を用いて表して,そこからもう一方の式に代入する方法を取ることになると思います.

問題の難しさとしては,途中までは特に困難な点は見当たらず,とにかく最後の処理だけだと思います.

投稿日:2021518
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投稿者

TomYum君
TomYum君
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名前はトムヤムクン(TomYumGoong)と読みます.仕事で数学を使う電子・情報系人間.塾講師とは違った立場で気楽に,主に中学入試の算数と大学入試の数学の問題を眺めていこうと思っています.

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